高考数学一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程学案

这是一份高考数学一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程学案，共10页。


知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．
(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__．
知识点二 直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝__eq \f(y2－y1,x2－x1)__．
知识点三 直线方程的五种形式
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( × )
(5)不经过原点的直线都可以用eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示．( × )
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P38T3)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则y＝( B )
A．－1B．－3
C．0D．2
[解析] 由eq \f(2y＋1－－3,4－2)＝eq \f(2y＋4,2)＝y＋2，
得y＋2＝taneq \f(3π,4)＝－1，∴y＝－3．
3．(必修2P100A组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x－2y＝0或x＋y－5＝0__．
[解析] 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
则eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5．所以直线方程为x＋y－5＝0．
题组三 走向高考
4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( C )
A．－1B．3
C．7D．8
[解析] 线段AB的方程为y－1＝eq \f(5－1,2－4)(x－4)， 2≤x≤4．即2x＋y－9＝0,2≤x≤4，因为P(x，y)在线段AB上，所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x－y最大值为7．
5．(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
[解析] 由题意可知切线的斜率k＝tan α＝eq \f(－4ex,ex＋12)＝eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴eq \f(3π,4)≤α＜π，故选D．
考点突破·互动探究
考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透
例1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是( B )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为( A )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))
(3)已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )
A．eB．－e
C．eq \f(1,e)D．－eq \f(1,e)
[解析] (1)直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α．由于α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2)，因此k＝2cs α∈[1，eq \r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3)]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))．
(2)如图所示，设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π)．
kPA＝eq \f(－1＋2,0－1)＝－1，kPB＝eq \f(－1－1,0－2)＝1．
∵直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，
∴－1≤tan α≤1．
∴α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))．故选A．
(3)解法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x)．设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝eq \f(ln x0,x0)，∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝eq \f(1,x0)＝eq \f(1,e)．
解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x及曲线f(x)＝ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C．
[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．
[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))__．
[解析]
∵P(0，－1)，A(－1,0)，
B(2,1)，∴kAP＝eq \f(－1－0,0－－1)＝－1，
kBP＝eq \f(1－－1,2－0)＝1．
如图可知，直线l斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))．
名师点拨
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．
(2)求直线斜率的方法：
①定义法：k＝tan α；
②公式法：k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)；
③导数法：曲线y＝f(x)在x0处切线的斜率k＝f′(x0)．
(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为eq \f(π,2)，直线垂直于x轴．
〔变式训练1〕
(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( B )
A．[0，π)B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
(2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的值可以是( ABC )
A．eq \f(1,2)B．－2
C．0D．1
[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)≤θ＜π，选B．
(2)由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图所示，
若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，
∵kPA＝－2，kPB＝eq \f(1,2)，
∴－2≤k≤eq \f(1,2)，故选A、B、C．
考点二 直线的方程——师生共研
例2 求适合下列条件的直线的方程：
(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)；
(2)经过点A(－eq \r(3)，3)，且倾斜角为直线eq \r(3)x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
(3)过点(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍；
(4)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．
[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(3,5)．
∴cs α＝±eq \f(4,5)，直线的斜率k＝tan α＝±eq \f(3,4)．
又直线在y轴上的截距是－5，
由斜截式得直线方程为y＝±eq \f(3,4)x－5．
即3x－4y－20＝0或3x＋4y＋20＝0．
(2)由eq \r(3)x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－eq \r(3)，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为eq \r(3)．
又直线过点(－eq \r(3)，3)，所以所求直线方程为y－3＝eq \r(3)(x＋eq \r(3))，即eq \r(3)x－y＋6＝0．
(3)若直线过原点，则其斜率k＝eq \f(2,5)，此时直线方程为y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0．
若直线不过原点，则设其方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，由eq \f(5,2b)＋eq \f(2,b)＝1得b＝eq \f(9,2)，故所求直线方程为eq \f(x,9)＋eq \f(2y,9)＝1，即x＋2y－9＝0．
∴所求直线的方程为x＋2y－9＝0或2x－5y＝0．
(4)直线3x－4y－5＝0的斜率为eq \f(3,4)，与y轴交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,4)))，故所求直线的斜率为－eq \f(3,4)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,4)))，∴所求直线方程为y＝－eq \f(3,4)x－eq \f(5,4)，即3x＋4y＋5＝0．
名师点拨
求直线方程应注意的问题
(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．
(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．
〔变式训练2〕
(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为__x＋13y＋5＝0__．
(2)直线eq \r(3)x－y＋4＝0绕其与x轴的交点顺时针旋转eq \f(π,6)所得直线的方程为__eq \r(3)x－3y＋4＝0__．
(3)已知直线l的斜率为eq \f(1,6)，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为__x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0__．
[解析] (1)由题意可知BC的中点为Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，
∴kAH＝eq \f(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),－5－\f(3,2))＝－eq \f(1,13)．
故所求直线的方程为y－0＝－eq \f(1,13)(x＋5)，
即x＋13y＋5＝0．
(2)直线eq \r(3)x－y＋4＝0与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4\r(3),3)，0))，斜率为eq \r(3)，倾斜角θ为eq \f(π,3)，可知所求方程直线的倾斜角为eq \f(π,6)，斜率k＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或由k＝tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))求))，故所求直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4\r(3),3)))，即eq \r(3)x－3y＋4＝0．
(3)设直线方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，则3b2＝3，∴b＝±1，故所求直线方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
考点三 直线方程的应用——多维探究
例3 已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当△AOB面积最小时，直线l的方程；
(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程；
(3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程；
(4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
[解析] 设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，
则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1．
(1)∵eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))⇒eq \f(1,2)ab≥4，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝eq \f(1,2)ab有最小值为4．此时，直线l的方程是eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1．即x＋2y－4＝0．
(2)a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq \r(2)．故a＋b的最小值为3＋2eq \r(2)，此时eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)，求得b＝eq \r(2)＋1，a＝2＋eq \r(2)．此时，直线l的方程为eq \f(x,2＋\r(2))＋eq \f(y,\r(2)＋1)＝1．即x＋eq \r(2)y－2－eq \r(2)＝0．
(3)解法一：设∠BAO＝θ，则sin θ＝eq \f(1,|MA|)，cs θ＝eq \f(2,|MB|)，∴|MA|·|MB|＝eq \f(2,sin θcs θ)＝eq \f(4,sin 2θ)，显然当θ＝eq \f(π,4)时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时kl＝－1，所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0．
解法二：|MA|·|MB|＝－eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2a＋b－5＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥4．当且仅当a＝b＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
解法三：若设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)＋－k))≥4，当且仅当－k＝－eq \f(1,k)，即k＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
(4)同(3)|MA|＝eq \f(1,sin θ)，|MB|＝eq \f(2,cs θ)，
∴|MA|2＋|MB|2＝eq \f(1,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)
＝(sin2θ＋cs2θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin2θ)＋\f(4,cs2θ)))
＝5＋eq \f(cs2θ,sin2θ)＋eq \f(4sin2θ,cs2θ)≥9．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当cs2θ＝2sin2θ，即tan θ＝\f(\r(2),2)时取等号))
∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，
此时直线的斜率k＝－eq \f(\r(2),2)，
故所求直线的方程为y－1＝－eq \f(\r(2),2)(x－2)，
即eq \r(2)x＋2y－2(eq \r(2)＋1)＝0．
注：本题也可设直线方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)求解．
名师点拨
利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．
〔变式训练3〕
已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B，O为坐标原点．若S△AOB＝eq \f(9,2)，求直线l的方程．
[解析] 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,ab＝9))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝\f(3,2)))
故所求直线方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,3)＝1或eq \f(x,6)＋eq \f(2y,3)＝1，
即x＋y－3＝0或x＋4y－6＝0．
名师讲坛·素养提升
(1)定点问题
例4 (此题为更换后新题)已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不过第一象限，求k的取值范围．
[解析] (1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋3)，故无论k取何值，直线l必过定点(－3,1)．
(2)令x＝0得y＝3k＋1，即直线l在y轴上的截距为2k＋1．
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＜0，,3k＋1≤0))解得k≤－eq \f(1,3)．
故k的取值范围是(－∞，－eq \f(1,3)]．
(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不过第四象限，求k的取值范围．
[解析] (1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，故无论k取何值，直线l必过定点(－2,1)．
(2)令x＝0得y＝2k＋1，即直线l在y轴上的截距为2k＋1．
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥0，,2k＋1≥0))解得k≥0．
故取值范围是[0＋∞)．
名师点拨
过定点A(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)及x＝x0．方程为y－y0＝k(x－x0)是直线过定点A(x0，y0)的充分不必要条件．
(2)曲线的切线问题
例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y＝eq \f(1,x)相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )
A．2B．eq \f(1,2)
C．1D．3
[解析] 设切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(1,m)))，m≠0，y＝eq \f(1,x)的导数为y′＝－eq \f(1,x2)，可得切线的斜率k＝－eq \f(1,m2)，切线方程为y－eq \f(1,m)＝－eq \f(1,m2)(x－m)，代入(2,0)，可得－eq \f(1,m)＝－eq \f(1,m2)(2－m)，解得m＝1，则切线方程为y－1＝－x＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为eq \f(1,2)×2×2＝2．故选A．
〔变式训练4〕
(1)直线y＝kx－k－2过定点__(1，－2)__．
(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为__2x－y－2＝0__．
名称
方程
适用范围
点斜式
__y－y0＝k(x－x0)__
不含直线x＝x0
斜截式
__y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含垂直于坐标轴的直线
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于x轴、平行于x轴和__过原点的__直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
其中要求__A2＋B2≠0__
适用于平面直角坐标系内的所有直线
α
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k
0
k＞0且α越大，k就越大
不存在
k＜0且α越大，k就越大