高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第7讲离散型随机变量的分布列期望与方差学案

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知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．
知识点二 离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的_概率分布列__，简称为X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1.
知识点三 离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
(1)均值：称E(X)＝_x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn__为随机变量X的均值或数学期望．
(2)方差：称D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的_标准差__.
(3)均值与方差的性质
①E(aX＋b)＝_aE(X)＋b__.
②D(aX＋b)＝_a2D(X)__.
*③D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
知识点四 常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布.
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．
2．随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的．
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(4)由下列给出的随机变量X的分布列服从二点分布．( × )
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(6)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( × )
题组二 走进教材
2．(P77A组T1改编)(此题为更换后新题)设随机变量X的概率分布列为
则P(|X－3|＝1)＝_eq \f(5,8)__.
[解析] 由eq \f(1,4)＋m＋eq \f(1,8)＋eq \f(3,8)＝1，解得m＝eq \f(1,4)，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,8)＝eq \f(5,8).
2．(P77A组T1改编)(此题为发现的重题，更换新题见上题)设随机变量X的概率分布列为
则P(|X－3|＝1)＝_eq \f(5,12)__.
[解析] 由eq \f(1,3)＋m＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝1，解得m＝eq \f(1,4)，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,12).
3．(P49A组T1)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_0,1,2,3__.
[解析] 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.
题组三 走向高考
4．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝_eq \f(1,3)__，E(ξ)＝_1__.
[解析] 由题意知，随机变量ξ的可能取值为0,1,2；
计算P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(1,1),C\\al(1,4))＋eq \f(C\\al(1,1)·C\\al(1,1),C\\al(1,4)·C\\al(1,3))＝eq \f(1,3)；
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)·C\\al(1,1),A\\al(2,4))＋eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1)A\\al(2,2)C\\al(1,1),A\\al(3,4))＝eq \f(1,3)；
P(ξ＝2)＝eq \f(A\\al(2,2)·C\\al(1,1),A\\al(3,4))＋eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,1)A\\al(3,3)C\\al(1,1),A\\al(4,4))＝eq \f(1,3)；
所以E(ξ)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,3)＝1.
故答案为eq \f(1,3)，1.
5．(2020·课标Ⅲ，3)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq \i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( B )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
[解析] 根据均值E(X)＝eq \i\su(i＝1,4,x)ipi，方差D(X)＝eq \i\su(i＝1,4,[)xi－E(X)]2·pi，标准差最大即方差最大，由各选项对应的方差如下表
由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B．
考点突破·互动探究
考点一 离散型随机变量分布列的性质——自主练透
例1 (1)(2021·河南南阳联考)随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P(eq \f(5,4)