人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程同步训练题

第21章 一元二次方程

21.3 实际问题与一元二次方程

一、选择题

1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为，那么满足的方程是　　

A． B． C． D．

2．受我省“药品安全春风行动”影响，某品牌药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，根据题意可得方程　　

A． B． C． D．

3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是　　

A．8 B．7 C．6 D．5

4．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是　　

A． B． C． D．

5．如图，将边长为的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为，盒子的容积是　　

A． B． C． D．

6．某商场销售某种水果，第一次降价，第二次又降价，则这两次平均降价的百分比是　　

A． B． C． D．

二、填空题

7．某注册平台三月份新注册用户为653万，五月份新注册用户为823万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为，则列出的方程是 　　．

8．特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，务必做好个人防护措施．如图所示，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，减少接触．电梯地面部分为一个长为，宽为的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为，若设隔离带的宽度均为，那么满足的一元二次方程是 　　．

9．某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 　　名学生．

10．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则 　　秒时，的面积是．

三、解答题

11．开展农技培训，实施人才强村战略，因地制宜采用新媒体手段远程指导生产，利用广播电视、微信公众号等开展农技培训．某地区加强了培训经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入4320万元．求该地区这两年投入培训经费的年平均增长率．

12．流行病学中有一个叫做基本传染数的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数．

13．用一段长为的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为．

（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为 　　（用含的代数式表示）；

（2）若菜园的面积为，求的值．

14．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

一、选择题

1．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有　　

A．7个 B．49个 C．121个 D．512个

2．如图，已知长方形的面积为1，长与宽之差为1，则该长方形的周长为　　

A．2 B． C． D．

3．小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程　　

A． B． 

C． D．

二、填空题

4．某工厂第一季度的销售额为100万元，第三季度的销售额为169万元，设每季度平均增长率为，则可列出方程为 　　．

5．2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的组共安排了6场比赛，则中国女足所在的组共有 　　支球队．

6．如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为 　　．

7．襄阳市要组织一次少年足球联赛，要求参赛的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，则共有 　　个队参加比赛．

三、解答题

8．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价元．

（1）用含的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 　　；

（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？

9．某农户要利用一面长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长．

（1）鸡场的面积能达到吗？如果能，求出与墙平行的边的长；

（2）鸡场的面积能达到吗？为什么？

10．疫情期间，某地开展“抗击疫情教科研在行动”中，鼓励名师率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播课．据统计，第一天公益课受益学生2万人次，第三天公益课受益学生2.42万人次．

（1）设第二天，第三天公益课受益学生人次的增长率相同，请求出这个增长率；

（2）若（1）中的增长率保持不变，预计第四天公益课受益学生将达到多少万人次？

一、选择题

1．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为．则所列方程为　　

A． B． C． D．

2．（2022•哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是　　

A． B． C． D．

3．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？　　

A．8 B．10 C．7 D．9

4．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是　　

A． B． C． D．

5．（2021•兴安盟）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为　　

A． B． 

C． D．

6．（2021•毕节市）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为　　

A．5 B．6 C．7 D．8

7．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为　　

A． B． 

C． D．

8．（2020•衢州）某厂家2020年月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程　　

A． B． 

C． D．

二、填空题

9．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　　．

10．（2020•邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则依题意列方程为　　．

三、解答题

11．（2022•泰州）如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？

12．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？

13．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．

（1）求该商品每次降价的百分率；

（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

1．【答案】A

【解析】解：依题意得：．

故选：．

2．【答案】D

【解析】解：第一次降价后的价格为：；

第二次降价后的价格为：；

两次降价后的价格为，

．

故选：．

3．【答案】B

【解析】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

这种植物每个支干长出的小分支个数是7．

故选：．

4．【答案】A

【解析】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，

一株椽的价钱为文．

依题意得：．

故选：．

5．【答案】C

【解析】解：设剪掉的正方形的边长为，则做成的无盖盒子的底面为长的正方形，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

盒子的容积为．

故选：．

6．【答案】C

【解析】解：设这两次平均降价的百分比是，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

这两次平均降价的百分比是．

故选：．

7．【答案】

【解析】解：依题意得：．

故答案为：．

8．【答案】

【解析】解：隔离带的宽度均为，

无隔离带区域（空白部分）可合成长为，宽为的矩形，

依题意得：．

故答案为：．

9．【答案】40

【解析】解：设九（1）班有名学生，则每名学生需送出张新年贺卡，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

九（1）班有40名学生．

故答案为：40．

10．【答案】2或3

【解析】解：设运动时间为 秒，则，，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

或3秒时，的面积是．

故答案为：2或3．

11．【解析】解：设该地区这两年投入培训经费的年平均增长率为，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：该地区这两年投入培训经费的年平均增长率为．

12．【解析】解：依题意得：，

解得：或（不合题意，舍去）．

答：新冠病毒的基本传染数为5．

13．【解析】解：（1）由图可得：平行于墙的一边长为，

故答案为：；

（2）根据题意得：

，

，

解得或，

当时，，

不合题意，舍去，

，

答：的值为．

14．【解析】解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：每件售价应定为50元．

1．【答案】D

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

，

经过三轮传染后患流感的人数共有512个．

故选：．

2．【答案】C

【解析】解：设长方形的宽为，则长为，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

该长方形的周长．

故选：．

3．【答案】C

【解析】解：根据题意，可得，

故选：．

4．【答案】

【解析】解：由题意可得，

，

故答案为：．

5．【答案】4

【解析】解：设中国女足所在的组共有支球队，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

中国女足所在的组共有4支球队．

故答案为：4．

6．【答案】1

【解析】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

小路宽为．

故答案为：1．

7．【答案】10

【解析】解：设共有个队参加比赛，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

共有10个队参加比赛．

故答案为：10．

8．【解析】解：（1）每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，

每件衬衫降价元，每月可售出衬衫件数为件．

故答案为：件；

（2）每件衬衫降价元，由题意得，

解得，

要尽快减少库存

答：每件衬衫应降价25元

9．【解析】解：（1）设与墙平行的边的长是，则与墙垂直的边的长是，

依题意得：，

整理得：，

解得：，

，

鸡场的面积能达到，此时与墙平行的边的长是．

（2）鸡场的面积不能达到，理由如下：

设与墙平行的边的长是，则与墙垂直的边的长是，

依题意得：，

整理得：．

△，

该方程没有实数根，

即鸡场的面积不能达到．

10．【解析】解：（1）设增长率为，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：这个增长率为．

（2）（万人次）．

答：预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．

1．【答案】A

【解析】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，

由题意得，．

故选：．

2．【答案】C

【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，

则列出的方程是．

故选：．

3．【答案】B

【解析】解：设共有支队伍参加比赛，

根据题意，可得，

解得或（舍，

共有10支队伍参加比赛．

故选：．

4．【答案】A

【解析】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，

一株椽的价钱为文．

依题意得：．

故选：．

5．【答案】D

【解析】解：设平均一人传染了人，第一轮有人患流感，第二轮共有人，

根据题意得：，

故选：．

6．【答案】B

【解析】解：设八年级有个班，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

故选：．

7．【答案】C

【解析】解：依题意，得：．

故选：．

8．【答案】B

【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程：，

故选：．

9．【答案】

【解析】解：设平均每月的增长率为，

由题意得，

解得，（不合题意，舍去）

所以平均每月的增长率为．

故答案为：．

10．【答案】

【解析】解：矩形的宽为（步，且宽比长少12（步，

矩形的长为（步．

依题意，得：．

故答案为：．

11．【解析】解：设路宽应为米

根据等量关系列方程得：，

解得：或40，

40不合题意，舍去，

所以，

答：道路的宽应为4米．

12．【解析】解：设增加了行，则增加的列数为，

根据题意，得：，

整理，得：，

解得，（舍，

答：增加了3行3列．

13．【解析】解：（1）设该商品每次降价的百分率为，

，

解得，（舍去），

答：该商品每次降价的百分率是；

（2）设第一次降价售出件，则第二次降价售出件，

由题意可得，，

解得，

为整数，

的最小值是6，

答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．