2022年秋季高三数学开学摸底考试卷（北京专用）03

绝密★考试结束前

2023届高三秋季开学摸底考试卷（03）（北京专用）

数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

4．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（       ）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

5．已知实数是方程的一个解，是方程的一个解，则可以是（       ）

A． B． C． D．

6．设函数，则（       ）

A．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为1

B．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为

C．为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为1

D．为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为

7．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（       ）

A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点

C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点

8．设函数，其中.若，且相邻两个零点之间的距离大于，则（       ）

A． B．

C． D．

9．已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

10．已知函数无最小值，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．函数的定义域为___________.

12．设当时，函数取得最大值，则__________.

13．若则的最小值是________．

14．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．

15．已知函数若，则不等式的解集为________；若恰有两个零点，则的取值范围为________.

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题13分）

已知函数．

(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

17．（本小题13分）

已知函数.

(1)求的值；

(2)求的最小正周期；

(3)若为偶函数，写出一个满足条件的的值，并证明.

18．（本小题14分）

某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.

（1）写出年利涧L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

19．（本小题15分）

已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数在上的最小值.

20．（本小题15分）

已知．

(1)当时，判断函数零点的个数；

(2)求证：.

21．（本小题15分）

设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.

(1)当时，是否存在理想集？并说明理由.

(2)当时，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

(3)求.