2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一下学期第二次质量检测数学试卷含答案

长安一中2021-2022学年度第二学期第二次质量检测

高一数学试题

一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合A＝{x|x2＋2ax＋2a≤0}，若A中只有一个元素，则实数a的值为(　　)

2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

3.已知{an}是等比数列．若a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)

4.若α为第四象限角，则(　　)

5.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得(　　)

6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝(　　)

7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于(　　)

8.若函数f(x)＝sin－1(ω>0)的最小正周期为，则f(x)图像的一条对称轴为(　　)

9.下列命题中错误的是(　　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

10.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为底面边长的2倍，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的余弦值为(　　)

11.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)

12.已知点G是△ABC的重心，∠BAC＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)

13.已知函数f(x)＝|sinx|＋cosx，则下列说法错误的是(　　)

14.在梯形中中，，，，，则(　　)

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）

15.设实数x，y满足3≤ xy2 ≤8，4≤  ≤9，则  的最大值是__________。

16.圆台的一个底面周长是另外一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面半径为_________。

17. 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A和B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则求CD的长为_________。

18. 函数f(x)＝ (x > 1)的最小值为_________。

19.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 ≥ ，则△ABC的形状为________________________________。

20.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．右图是书画家唐寅(1470—1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为___________cm2。

三、解答题（本大题共4小题，第1、2小题各12分，第3、4小题各13分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

21.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.

(1)求证：平面BCE∥平面ADF；

(2)若平面ABCD⊥平面AEBF，AF＝1，BC＝2，求AD与平面CEF夹角的正弦值。

22. （12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，E是AD的中点，将△ABE沿BE折起，记折起后的三角形为△PBE，且PC＝1。

(Ⅰ)证明：平面PCE⊥平面PBD；

(Ⅱ)在线段PD上是否存在点F，使得EF⊥CD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

23.（13分）已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列。

(1)求使不等式an≥0成立的最大正整数n；

(2)记数列 的前n项和为Tn，求证：－≤Tn≤。

24. （13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝.

(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC的面积S＝10，请指出这三个条件，并说明理由；

(2)若a＝3，求△ABC周长L的取值范围。

长安一中2021-2022学年度第二学期第二次质量检测

高一数学答案

一、选择题

二、填空题

三、解答题

21.(1)证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，

又BC⊈平面ADF，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.

∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，

∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，

又BE⊈平面ADF，AF平面ADF，

∴BE∥平面ADF，

∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，

∴平面BCE∥平面ADF.

(2)解　∵四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，AD与平面CEF夹角即为BC与平面CEF夹角

∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，

平面ABCD∩平面AEBF＝AB，

∴BC⊥平面AEBF，

在等腰Rt△ABF中，∵AF＝1，∴AB＝，

∴AE＝AB＝，BE=2，∴S△ABF＝BF·BE＝1.

又∵BC=2，所以CF=BF=,CE=，

为等腰三角形，易知.

设B到平面CEF距离为d,则

S△BEF·BCB=S△CEF·d，解得d=

∴BC与平面CEF夹角的正弦值

∴AD与平面CEF夹角的正弦值为。

23. 解：（1）在等差数列{an}中，因为a1，a11，a13成等比数列，所以a＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．

又a1＝25，d≠0，所以d＝－2，

则an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋27.(3分)

由an≥0，得－2n＋27≥0，解得n≤13.5，

故满足题意的最大正整数为n＝13.(5分)

（2）因为＝＝－，(7分)

所以Tn＝＋＋…＋＝－[(－)＋＋…＋(－)]＝－＝－＋.(9分)

易知当n≤12时，Tn＝－＋单调递增，且Tn>0；(10分)

当n≥13时，Tn＝－＋单调递增，且Tn<0，(11分)

所以T13≤Tn≤T12.又T12＝，T13＝－，所以－≤Tn≤.(13分)

24. (1)答案：①③④，理由：

因为＝ ，所以sinAcosB＋sinAcosC＝sinBcosA＋sinCcosA，

即sinAcosB－sinBcosA＝sinCcosA－sinAcosC，

所以sin(A－B)＝sin(C－A)．

因为A，B，C∈(0，π)，所以A－B＝C－A，即2A＝B＋C，所以A＝.(3分)

△ABC同时满足①③④，理由如下：

若△ABC同时满足①②，则由正弦定理可得sinB＝＝＞1，不符合题意；

若△ABC同时满足③④，则S＝bcsinA＝×b×8×＝10，解得b＝5，这与②矛盾，故只能是△ABC同时满足①③④.(6分)

（2）由A＝，a＝3及正弦定理可得＝＝＝2，所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin，(8分)

所以L＝a＋b＋c＝2＋3＝6＋3＝6sin＋3.(10分)

因为B∈，所以B＋∈，(11分)

所以sin∈，(12分)

所以△ABC周长L的取值范围为(6，9]．(13分)