2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

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2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在一个直角三角形中，如果斜边长是，一条直角边长是，那么另一条直角边长是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列函数中，表示是的正比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在平行四边形中，如果，那么(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下面选项中的四边形不是轴对称图形的是(    )

A.     平行四边形 B.          矩形
C.       菱形 D.       正方形

7. 下列各组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 年月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形的面积为，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家．图中折线表示小明离开家的路程米和所用时间分之间的函数关系，则下列说法中错误的是(    )

A. 小明跑步的速度为米分 B. 小明在公园休息了分钟
C. 小明乘出租车用了分钟 D. 出租车的平均速度是米分

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 函数中自变量的取值范围是______．
12. 在菱形中，，，则对角线的长为______．
13. 在平面直角坐标系中有两点和点，则这两点之间的距离是______．
14. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______．
15. 已知一次函数的图象经过点，则______．
16. 如图，平行四边形中，，，垂足分别为、，，，则______．

17. 青山村种植水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产，则水稻每公顷产量的年平均增长率是______．
18. 如图，已知一次函数的图象经过点与，那么关于的不等式的解集是______．

19. 已知，在中，，，高，则边长为______．
20. 如图，正方形中，点在上，点在上，，连接交于点，若，，则的长是______．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 解下列一元一次方程：
    ；
    ．
22. 图、图分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为，线段的端点在小正方形的顶点上，请在图、图中各取一顶点顶点必须在小正方形的顶点上，并且分别满足以下要求：
    在图中画一个以线段为一边的直角，且的面积为；
    在图中画一个以线段为一边的钝角等腰，请直接写出线段的长．
    
    线段的长是______．
23. 某单位有一块四边形的空地，，量得各边的长度如图单位：米现计划在空地内种草，若每平方米草地造价元，这块地全部种草的费用是多少元？

24. 如图，已知为中线，为上一点，连接并延长至点，使，连接、，．
    求证：四边形是平行四边形；
    设四边形的面积为，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四个面积等于的三角形．

25. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为万元时，年销售量为台．假定该设备的年销售量单位：台和销售单价单位：万元成一次函数关系．
    求年销售量与销售单价的函数关系式；
    已知每台设备成本价为万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
26. 在平行四边形中，的平分线交边于点，交的延长线于点．
    如图，求证：；
    如图，，，连接、，当时，求证：；
    如图，在的条件下，当，时，求线段的长．
     

27. 在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，且、的长是方程的两个根．
    
    如图，求点坐标；
    如图，点在上，点在的延长线上，且连接、，过点作交于点，垂足为点设长为，点的横坐标为，求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
    如图，在的条件下，当：：时，求直线的解析式．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理得，另一条直角边为，
故选：．
根据勾股定理直接计算即可．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理求直角三角形的第三边是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，不是正比例函数，故该选项不符合题意；
选项，是正比例函数，故该选项符合题意；
选项，是一次函数，不是正比例函数，故该选项不符合题意；
选项，，，不是函数，故该选项不符合题意；
故选：．
根据一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数判断即可．
本题考查了正比例函数，掌握一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故选：．
直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将方程化成一元二次方程的一般形式得：．
故选：．
方程移项把右边化为，左边按照的降幂排列即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为为常数且．
 

6.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

7.【答案】 

【解析】解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
选项A不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
选项B符合题意；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
选项C不符合题意；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
选项D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定：、、可判定为平行四边形，而不具备平行四边形的条件，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
，
故选：．
在正比例函数中，当时，随的增大而增大，据此判断即可．
本题主要考查了正比例函数的性质，在正比例函数中，，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．
 

9.【答案】 

【解析】解：设直角三角形斜边长为，
根据题意得：，，即，
则，
故选：．
根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、小明米用了分钟，跑步的速度为米分，此选项正确，不合题意；
B、小明在公园停留的时间为分钟，也就是在公园休息了分钟，此选项正确，不合题意；
C、小明乘出租车的时间是分钟，此选项错误，符合题意；
D、出租车米用了分钟，速度为米分，此选项正确，不合题意．
故选：．
根据情境的叙述，结合图象，逐一分析得出答案即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，解得：．
分式有意义的条件是分母不等于，根据这一点就可以求出的范围．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
为等边三角形，
．
故答案为：．
根据菱形的性质及已知可得为等边三角形，从而得到．
本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据两点间的距离公式得，，
故答案为：．
直接代入两点间的距离公式即可．
本题主要考查了两点间的距离公式，熟练掌握公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解关于的一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于的方程，解之即可得出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，
又由四边形的内角和定理，得
，
，
，，
．
．
故答案为：．
本题可运用四边形内角和定理，先求，再求最后由度角所对的直角边为斜边的一半求解．
本题结合直角三角形考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形的对边平行且相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

17.【答案】 

【解析】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
水稻每公顷产量的年平均增长率是．
故答案为：．
设水稻每公顷产量的年平均增长率是，利用年平均每公顷的产量年平均每公顷的产量水稻每公顷产量的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意可得：一次函数中，时，图象在轴下方，，
则关于的不等式的解集是，
故答案为：．
首先利用图象可找到图象在轴下方时，进而得到关于的不等式的解集是．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
 

19.【答案】或 

【解析】解：当高在内部时，如图，

由勾股定理得，，
，
，
当高在外部时，如图，

同理可得，，
综上：或，
故答案为：或．
分高在内部或高在外部两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求出和的长即可．
本题主要考查了勾股定理，三角形的形状不定从而进行分类讨论是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：过点作于点，延长交于点，如图所示：

则，
，
在正方形中，，，，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
设，
根据勾股定理可得，
，，
，
根据勾股定理，可得，
在正方形中，，
，
又，
∽，
：：，
解得，
，
，
根据勾股定理可得，
，
解得，
，
，
故答案为：．
过点作于点，延长交于点，根据正方形的性质易证≌，可得，设，再根据勾股定理表示出和的长，列方程求解即可求出的长，进一步可得的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

22.【答案】 

【解析】如图，直角即为所求；

如图，即为所求，
线段的长．
故答案为：．
根据网格即可在图中画一个以线段为一边的直角，且的面积为；
根据网格即可在图中画一个以线段为一边的钝角等腰，然后根据勾股定理即可求出线段的长．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，
 

23.【答案】解：连接，
，
在中，，
在中，，，
，
，
，
，
元，
这块地全部种草的费用是元 

【解析】连接，先证明是直角三角形，根据求出四边形的面积即可解决问题．
本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明是直角三角形，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
为中线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形的面积为，面积等于的三角形有：，，，，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
为中线，
，
；
≌，
，
，
，

综上所述：面积等于的三角形有：，，，． 

【解析】证明≌，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
根据四边形是平行四边形，可得，根据为中线，可得，再结合可得，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到≌．
 

25.【答案】解：当时，，
，
，
年销售量与销售单价的函数关系式为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又此设备的销售单价不得高于万元，
．
答：该设备的销售单价应是万元． 

【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值，进而可得出年销售量与销售单价的函数关系式；
利用年销售利润每台的销售利润年销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征，求出的值；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

26.【答案】证明：如图，四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
；
证明：如图，延长、交于点，连接，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
和都是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
过点作于点，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
则，
，
点与点重合，
，
，
． 

【解析】由四边形是平行四边形得，，所以，，由是的平分线得，所以，得；
延长、交于点，连接，可证得四边形是平行四边形，四边形是菱形，推出和都是等边三角形，再证明≌，得出，进而证得结论；
如图，连接，根据平行四边形性质和角平分线性质可得出，过点作于点，可得，利用勾股定理求得，过点作于点，结合勾股定理即可求得答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含锐角的直角三角形性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：解方程得，
，
在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，
，；

如图，过点作于点，则，，

由得，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
；

如图，过点作于点，过点作于，则，，

∽，，
，
：：，
，
由得，
，
，
，
．
∽，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
．
直线的解析式为． 

【解析】解方程得，则，即可得点坐标；
过点作于点，则，，证明∽，根据相似三角形的性质得，再证∽，可得，由得，可得，即可得；
过点作于点，过点作于，则，，可得∽，由：：，得，由得，可得出，证明∽，根据相似三角形的性质得，可得，利用勾股定理求出，再证∽，则，即，可得，即，，利用待定系数法即可求解．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，注意方程思想的应用是解此题的关键．