2021-2022学年吉林省松原市乾安县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年吉林省松原市乾安县八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共6小题，共12分）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列四组数，可作为直角三角形三边的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，

3. 不能判定四边形为平行四边形的题设是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

4. 下列表示与之间的关系的图象中，不是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度与注水时间之间的函数关系图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

7. 函数中，自变量的取值范围是______．
8. 已知一个样本，，，，的平均数是，则这个样本的方差是______．
9. 若正比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，请写出一个满足上述要求的的值______ ．
10. 如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．

11. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于______．

12. 若直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为______．
13. 若函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

14. 如图，在矩形中，是对角线．将矩形绕点顺时针旋转到矩形位置，是的中点．若，，则线段的长为______．

三、解答题（本题共12小题，共84分）

15. 计算：．
16. 已知．
    满足什么条件时，是一次函数？
    满足什么条件时，是正比例函数？
17. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

18. 如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且，求证：．

19. 如图，网格中有一条线段，点、都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为请在图和图中各画出一个格点，使是直角三角形，且，并满足以下要求：
    在图中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数画出一个即可．
    在图中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数画出一个即可．
    满足、的共有______ 个
     

20. 已知矩形中，对角线与相交于点分别过点、作、的平行线交于点．
    求证：四边形为菱形．
    若，，求菱形的面积．

21. 为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题：
    
    Ⅰ本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图中的值为______；
    Ⅱ求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
    Ⅲ根据样本数据，若学校计划购买双运动鞋，建议购买号运动鞋多少双？
22. 直线经过点，交轴于点直线交轴于点，且与直线相交于点．
    求点的坐标；
    求的面积．
23. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示．
    以下是点、点、点所代表的实际意义，请将，，填对应的横线上：
    甲到达终点______；
    甲、乙两人相遇______；
    乙到达终点______；
    、两地之间的路程为______千米；
    求甲、乙各自的速度；
    求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距千米．

24. 如图，在边长为的正方形中，是边的中点，将沿对折至，延长交于点，连接．
    求证：≌；       
    求的长．

25. 小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：
    服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价元，售价元；乙种每件进价元，售价元．计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．
    若购进这件服装的费用不得超过，则甲种服装最多购进多少件？
    在的条件下，该服装店在月日“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
26. 如图，直线分别与轴、轴交于点、点，点的坐标为，为直线上一动点，连接交轴于点．
    点的坐标为______，不等式的解集为______；
    若，求点的坐标；
    如图，以为边作菱形，且，连接、、，求证：≌．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，故不是直角三角形，不符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故是直角三角形，符合题意．
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
四边形为平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
故本选项能判定四边形为平行四边形．
B.，不能判定四边形为平行四边形，
故此选项符合题意；
C.，，
四边形为平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故本选项能判定四边形为平行四边形；
D.，，
四边形为平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
故本选项能判定四边形为平行四边形；
故选：．
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握并运用平行四边形的判定定理是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A，，所画图象中，对于自变量的每一个确定值，都有唯一的确定值与其对应，而选项D所画图象中，对于部分自变量的确定值，都有不唯一的确定值与其对应，
选项A，，所画图象中，是的函数，选项D所画图象中，不是的函数，
选项A，，不符合题意，选项D符合题意，
故选：．
根据函数的概念进行辨别即可．
此题考查了对函数概念的理解能力，关键是能准确运用数形结合理解该知识．
 

5.【答案】 

【解析】解：每人次射击成绩的平均数均是环，方差依次为、、、，
丁的方差最小，
成绩最稳定的是丁；
故选D．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水，
所以函数图像均为匀速上升，
由此可排除，选项，
刚开始时由于长方体铁块在圆柱体容器内，
注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，
所以水面以较快速度均匀上升，
当水淹没长方体铁块后一直到水注满容器，
底面积是圆柱体的底面积，
所以水面以较慢速度均匀上升，
所以排除选项，选项D符合题意，
故选：．
根据题意可知，在注满水的过程中，水面均是匀速上升，下面部分的底面积小于上面部分，所以水面上升速度较快，由此可得出答案．
本题考查函数图象的意义，深刻理解实际问题中函数图象所代表的意义，是快速解出这道题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，，，它的平均数是，
，
，
；
这个样本的方差是；
故答案为：．
先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解即可．
本题考查了平均数和方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

9.【答案】 

【解析】解：时直线经过一、三象限，
即可．
故答案为：满足即可．
正比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，即可，时图象经过二、四象限．
本题考查正比例函数的性质，解题关键是掌握与直线的变化规律．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

由题意，，，，
，，
是等腰直角三角形，且，
，
故答案为：．
根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形的性质得，
，
又平分，
，
，
，
即．
故答案为：．
由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而平分，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则可求解．
本题考查通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：直角三角形两直角边长为和，
斜边，
此直角三角形斜边上的中线的长．
故答案为：．
根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小，
当是，，
即关于的不等式的解集是．
故答案为．
从图象得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
将绕点顺时针旋转到位置，，，
，，，
，
是的中点，
，，
，
在中，．
故答案为：．
首先过点作于点，由将绕点顺时针旋转到位置，，，可得，，，又由是的中点，易得是的中位线，继而求得与的长，由勾股定理即可求得线段的长．
此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则和完全平方公式是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：由题意得：，
解得：；

由题意得：，且，
解得：． 

【解析】利用一次函数定义可得，再解不等式即可；
利用正比例函数定义可得：，且，再解方程可得的值．
此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如是常数，的函数叫做正比例函数．
 

17.【答案】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是． 

【解析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中

≌，
． 

【解析】根据平行四边形性质得出，，根据全等三角形的判定得出≌，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，能求出≌是解此题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：点的位置如图所示．

点的位置如图所示．
满足条件的三角形有个．
故答案为：．
根据要求作出图形即可，有两种情形．
根据要求作出图形即可，有四种情形．
根据可得结论．
本题考查作图应用与设计作图，无理数，直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】结论：四边形的形状是菱形，
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：，，
矩形的面积，
，
四边形的面积． 

【解析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，
由矩形的性质可知四边形的面积为矩形面积的一半，问题得解．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解决问题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的个三角形，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：Ⅰ；；
Ⅱ在这组样本数据中，出现了次，出现次数最多，
这组样本数据的众数为；
将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为，
中位数为；
Ⅲ在名学生中，鞋号为的学生人数比例为，
由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为的人数比例约为，
则计划购买双运动鞋，有双为号． 

【解析】解：Ⅰ本次接受随机抽样调查的学生人数为，图中的值为；
故答案为：；；
Ⅱ见答案；
Ⅲ见答案．
Ⅰ根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位，求出的值即可；
Ⅱ找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
Ⅲ根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
 

22.【答案】解：直线经过点，
，解得，
此直线解析式为，
直线交轴于点，
，
此直线解析式为，
，
解得，
点；
把代入，得，
，
，
，
的面积． 

【解析】首先将已知点的坐标代入到一次函数的解析式求得值和值，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得交点的坐标；
先求得的坐标，即可求得，然后利用三角形的面积公式即可求得．
本题考查了两条直线平行或相交的问题，解题的关键是求得两直线的解析式及交点坐标，难度不大．
 

23.【答案】       

【解析】解：分析函数图象知出发小时时，甲乙在途中相遇；出发小时时乙到达地；小时时甲到达地，
故答案为：；；；
根据函数图象可得，、两地之间路程为千米，
故答案为：；
甲的速度是：千米时，则乙的速度是：千米时；
相遇之前：小时，
相遇之后：小时，
即甲出发小时或小时后，甲、乙两人相距千米．
根据函数图象和图象中的数据可以解答本题；
由图象可得，、两地之间路程为千米；
出发小时时，甲乙在途中相遇，从而可以求得它们各自的速度；
根据图象可知相遇前和相遇后，存在这两种情况甲、乙两人相距千米，然后列式计算即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：在正方形中，，，
将沿对折至，
，，，
，，
又，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
设，则，
为的中点，
，
，
在中，，解得，
． 

【解析】此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
首先证明，然后再证明，接下来，依据可证明≌；
利用勾股定理得出，进而求出即可．
 

25.【答案】解：设购进甲种服装件，由题意可知：
，解得：．
答：甲种服装最多购进件．
设总利润为元，因为甲种服装不少于件，所以，
，
方案：当时，，随的增大而增大，
所以当时，有最大值，则购进甲种服装件，乙种服装件；
方案：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；
方案：当时，，随的增大而减少，
所以当时，有最大值，则购进甲种服装件，乙种服装件． 

【解析】设购进甲种服装件，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式得出结论；
找出利润关于购进甲种服装之间的关系式，分的情况讨论．
本题考查了一次函数的应用与解一元一次不等式，解题的关键是：根据题意列出关于的一元一次不等式；找出利润关于购进甲种服装的关系式，由函数的性质分的情况讨论．本题属于中档题，难度不大，需要分的情况讨论．
 

26.【答案】   

【解析】解：，
当时，有，
解得：，
点的坐标为．
观察函数图象，可知：当时，直线在轴上方，
不等式的解集为．
故答案为：；；

解：当时，，
点的坐标为
，
，即，
．
当时，有，
解得：，
点的坐标为；

证明：四边形是菱形，
，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
≌．
先确定出点的坐标，借助图象即可得出结论；
先确定出点的坐标为，再判断出，进而求出点的纵坐标，即可得出结论；
先判断出、为等边三角形，根据等边三角形的性质得，，，，可得，利用即可得出结论．
此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与不等式，三角形的面积公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想是解本题的关键．