数学九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系教案设计

2.4一元二次方程的根与系数的关系

教学目标

1．在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用.

2．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程.

教学重难点

【教学重点】

观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系

【教学难点】  

对根与系数这一性质进行应用

课前准备

课件等.

教学过程

一、情景导入

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

(1)x2－2x＝0；

(2)x2＋3x－4＝0；

(3)x2－5x＋6＝0.

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的根与系数的关系

利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．

解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．

解：这里a＝3，b＝6，c＝－1.

Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，

∴方程有两个实数根．

设方程的两个实数根是x1，x2，

那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－.

方法总结：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.

探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用

【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值

设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1)(x1＋2)(x2＋2)；　　(2)＋.

解析：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．

解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－.

(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－；

(2)＋＝＝＝＝－.

方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．

【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根

已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．

解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．

解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－，

∴x1＝－.又∵x1＋2＝－，

∴－＋2＝－，∴k＝－7.

方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．

【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用

已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，求m的值．

解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由＋＝－1建立方程，求解m的值．

解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，

∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.

又∵＋＝＝＝－1，

化简整理，得m2－2m－3＝0.

解得m＝3或m＝－1.

当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，

此时Δ＝12－4＜0，方程无解，

∴m＝－1应舍去．

当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，

此时Δ＝92－4×9＞0，

方程有两个不相等的实数根．

综上所述，m＝3.

易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．

三、板书设计

四、教学反思

让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.