2021-2022学年内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 函数中自变量的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一组数据的方差可以用式子表示，则式子中的数字所表示的意义是(    )

A. 这组数据的个数 B. 这组数据的平均数
C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数

4. 如图，四边形是边长为的正方形，点在正方形内，且，又，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列命题是真命题的是(    )

A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行且相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形

6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点是边的中点，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知，函数，则下列直线是该直线的函数的图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形一定是(    )

A. 矩形 B. 菱形
C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形

9. 均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示图中为一折线，则这个容器的形状为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

11. 一组数据，，，，的方差是______．
12. 若一组数据，，，，的众数为，则这组数据的中位数为______．
13. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是线段，的中点．若，，则的周长是______ ．
14. 如图，直线和的交点的横坐标为，则满足不等式组的解集是______ ．

15. 已知两条线段的长分别为、，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是______．
16. 甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中、分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程随时间分变化的函数图象．以下说法：
     

乙比甲提前分钟到达；  甲的平均速度为千米小时；

乙走了后遇到甲；     乙出发分钟后追上甲．

其中正确的有________填所有正确的序号

三、解答题（本题共8小题，共72分）

17. 计算：；
    计算：．
18. 某班在一次班会课上，就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论，并对全班名学生的处理方式进行统计，得出相关统计表和统计图．

请根据表图所提供的信息回答下列问题：
统计表中的______，______；
补全频数分布直方图；
若该校有名学生，请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人？

19. 如图，在中，，，是边上的中线，且，延长到点，使，连接．
    求证：是直角三角形．
    求边的长．

20. 某农户种植一种经济作物，总用水量米与种植时间天之间的函数关系式如图所示．
    第天的总用水量为多少米？
    当时，求与之间的函数关系式；
    种植时间为多少天时，总用水量达到米？

21. 如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作▱，连接、．
    求证：≌；
    若，求证：四边形是矩形．

22. 如图所示，直线的解析表达式为，且与轴交于点直线经过点，，直线，交于点．
    求直线的解析表达式；
    求的面积；
    在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．

23. 某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价元，售价元．乙商品每件进价元，售价元．若甲、乙两件商品共购进件，设购进甲商品件，销售完此两种商品的总利润为元．
    求出与的函数关系式．
    该商家计划最多投入元用于购进此两种商品共件，则至少要购进多少件甲种商品．
    若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？
24. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，垂足为，交直线于，连接，．
    求证：；
    当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
    在满足的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？不必说明理由

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式组是解题关键．
根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
，
解得且，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项正确．
故选D．
根据二次根式的性质对对进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断，根据二次根式的乘法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据方差的计算公式，可知式子中即是，
数字所表示的意义是这组数据的平均数，
故选：．
由方差的计算公式即可得到答案．
本题考查方差的计算公式，解题的关键是理解、掌握公式中字母所代表的意义．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
．
故选A．
本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
根据计算即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：．
对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
点是边的中点，
．
故选：．
由菱形的性质求得与的长，再由勾股定理求得的长，然后由直角三角形斜边的中线性质即可得出结论．
此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及一次函数的图象，利用一次函数图象上点的坐标特征找出函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键根据一次函数图象上点的坐标特征找出函数图象与、轴交点的坐标，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】
解：当时，，
函数的图象与轴交点为；
当时，，
函数的图象与轴交点为．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．

【解答】
解：如图，

四边形是矩形，且、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形是矩形，即，
，
故选D．

9.【答案】 

【解析】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为．
故选B．
根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
此题考查了函数的图象；用到的知识点是函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
连接，根据，为正方形的两条对角线可知为的垂直平分线，所以，要求，求即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得，确定和垂直平分是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接，

，，

，
，

是线段的垂直平分线，在上，

故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数是，
这组数据的方差．
故答案为：．
根据题意得出这组数据的平均数是，再根据方差，列式计算即可．
本题考查了方差：一般地设个数据，，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据，，，，的众数为，
，
把这组数据从小到大排列为：、、、、，
则中位数为；
故答案为：．
根据众数的定义可得的值，再依据中位数的定义即可得答案．
本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．
 

13.【答案】 

【解析】解：▱的对角线，相交于点，
，，，
，
，
点，分别是线段，的中点，
，
的周长；
故答案为：．
根据平行四边形的性质可知，，求出，由三角形中位线定理求出的长，即可得出的周长．
本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，求出的长是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键．满足关于的不等式就是在轴的右侧直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围．
【解答】
解：直线与的交点的横坐标为，
且直线与轴的交点的横坐标为，
关于的不等式的解集为，
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】解：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．
当第三边是斜边时，第三边；
当第三边是直角边时，第三边．
综上所述，第三条线段的长是或．
故答案为：或．
根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
本题考查了函数的图象，函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【解答】
解：乙在分时到达，甲在分时到达，所以乙比甲提前了分钟到达；故正确；
根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度千米时；故正确；
设乙出发分钟后追上甲，则有：，解得，故正确；
由知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：，故错误；
所以正确的结论有三个：，
故答案为：．  

17.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案；
直接利用完全平方公式以及二次根式的除法运算法则化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：；；
补全频数分布直方图如图所示：
；
人．
答：估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有人． 

【解析】

【分析】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
根据条形统计图可以求得的值，然后利用减去其它各组的人数即可求得的值；
根据的结果即可作出统计图；
利用总人数乘以所占的比例即可求解．
【解答】
解：根据条形图可以得到：，人
故答案是：，；
见答案．  

19.【答案】证明：在和中，

≌，
，
  

是直角三角形．
    
解：在中，

． 

【解析】首先证明≌，推出，由，推出是直角三角形．
在中，求出，根据即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：第天的总用水量为米．

当时，设，
函数图象经过点，，
，
解得，
与之间的函数关系式为：．

当时，
由，解得
答：种植时间为天时，总用水量达到米． 

【解析】由图可知第天的总用水量为；
设，把已知坐标代入解析式可求解；
令代入方程可得．
本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形已知，
，平行四边形的对边平行且相等；
两直线平行，同位角相等；
又已知，
等量代换，等边对等角，
等量代换；
在和中，
，
≌；
四边形是平行四边形已知，
，平行四边形的对边平行且相等，
；
又，
等量代换，
四边形是平行四边形对边平行且相等的四边形是平行四边形；
在中，，，
等腰三角形的“三合一”性质，
，
▱是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理可以证得≌；
利用等腰三角形的“三合一”性质推知，即；由平行四边形的判定定理对边平行且相等是四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．
本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，而不是“有一个角是直角的四边形是矩形”．
 

22.【答案】解：设直线的解析表达式为，
把、代入得，解得，
所以直线的解析表达式为；
解方程组得，则；
当时，，解得，则，
所以的面积；
因为点与点到的距离相等，
所以点的纵坐标为，
当时，，解得，
所以点坐标为． 

【解析】利用待定系数法求直线的解析表达式；
先解方程组确定，再利用轴上点的坐标特征确定点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
由于与的面积相等，根据三角形面积公式得到点与点到的距离相等，则点的纵坐标为，对于函数，计算出函数值为所对应的自变量的值即可得到点坐标．
本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即值相同．
 

23.【答案】解：设购进甲商品件，则购进乙商品件，
．
依题意得：，
解得：．
答：至少购进甲种商品件．
对于，
，
随的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为．
答：若售完这些商品，商家可获得最大利润是元． 

【解析】设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据“总利润甲商品的利润乙商品的利润”即可得出关于的函数关系式；
根据该商家计划最多投入元用于购进此两种商品共件，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围；
根据一次函数的单调性，结合的取值范围即可解决最值问题．
本题考查了一次函数的应用以及解一元一次不等式，根据数量关系列出函数关系式或不等式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
四边形是菱形，
理由是：为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
当时，四边形是正方形． 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可；
当，四边形是正方形，证出即可得出菱形是正方形．
【解答】
解：见答案；
见答案；
当时，四边形是正方形．
理由如下：，，
，
．
为中点，
，
．
四边形是菱形，，
四边形是正方形．