2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校分层班高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校分层班高二（下）期末数学试卷（文科）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知等差数列的前项和为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 双曲线的焦点到渐近线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 有一机器人的运动方程为是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知正项等比数列中，，与的等差中项为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知抛物线：，直线过点与抛物线交于，两点，且，则直线倾斜角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 曲线：在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，作一个边长为的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了个正方形，设这个正方形的面积之和为，则(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知函数，则“”是“函数为增函数”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 已知正项数列中，，，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，若存在实数使函数有两个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式其中为自然对数的底数的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 数列满足，，若数列恰为等比数列，则的值为______．
14. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为______．
15. 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚尺，请问两只老鼠最少在第______天相遇．
16. 已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过，分别作抛物线的切线，，设，相交于点则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知等差数列的公差不为，且满足，．
    求的通项公式；
    求证：．
18. 如图，在三棱柱中，底面，．
    求证：平面；
    若线段与的中点分别为，，求证：平面；
    已知，，且异面直线与所成的角为，求三棱柱的体积．

19. 已知数列满足，且．
    求为何值时，数列是等比数列；
    若数列是等比数列，求数列的通项公式．
20. 已知函数在点处的切线为．
    求函数的解析式；
    是否存在，对任意，使得成立，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由．参考数据：，
21. 已知抛物线：经过点．
    求抛物线的方程；
    设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，的中点为，若，求的面积．
22. 已知函数．
    求曲线在点处的切线方程；
    若函数在有两个零点，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解由题意得，，
所以，
由等差数列的性质得，，
所以，
故选：．
由已知结合等差数列的性质可求，，然后结合等差数列的求和公式可求．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：双曲线的，，，
焦点设为，渐近线设为，
可得距离，
故选：．
求得双曲线的，，，可得焦点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意知，机器人的速度方程为，
故当时，机器人的瞬时速度为．
故选：．
根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义分析可得答案．
本题考查函数的变化率，涉及函数导数的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
正项等比数列的公比设为，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．

【解答】

解：正项等比数列的公比设为，，
由，可得，即，即，
与的等差中项为，
可得，即，
相除可得，解得舍去，
则．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：函数，令，则，
故，，
，
，
故选：．
利用换元法求得，再利用求导公式求解．
本题考查导数的运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，直线的斜率存在，
当直线的斜率为零时，
为抛物线的焦点，则，不合题意；
直线的斜率存在，且不为零，
设直线的方程为，
由消去得：，，
，解得：，
即，．
故选：．
分析可知直线的斜率存在，且不为零，设方程为，与抛物线联立得到韦达定理形式，根据抛物线焦点弦长公式可求得，即，由同角三角函数关系可求得结果．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
则曲线：在点处的切线方程为，
即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的运算法则，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】将各正方形面积依次排成一列可得一等比数列，利用等比数列前项和公式计算作答．
本题考查等比数列的前项和的求法，考查等比数列在生产生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】解：依题意，从第个正方形开始，以后每个正方形边长都是相邻前一个的，
而所有正方形都相似，则从第个正方形开始，每个正方形面积都是相邻前一个的，
将各正方形面积依次排成一列得等比数列，其首项，公式，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以当时，，函数在定义域上单调递增，
因为，
所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件，
故选：．
首先求出函数的导函数，求出函数为增函数时参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可．
本题考查了导函数与函数单调性之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为且，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，，
因为数列为正项数列，则，
则，
所以，数列的前项和为．
故选：．
分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，结合已知条件可求得数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得结果．
本题考查了裂项相消求和，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数，
有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，
画出函数的图象如图：
当，可得或，结合函数的图象可知，
时，函数有两个零点，
则实数的取值范围是．
故选：．
由有两个零点，可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围．
本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，则，
在上单调递增，
，
即
等价于
即，
不等式的解集为．
故选：．
构造函数，求导后可证得在上单调递增；而原不等式可转化为，即，于是，从而得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，

数列是以为公比的等比数列
故答案为：
由已知可得，从而可得数列是以为公比的等比数列，可求
本题主要考查了利用数列递推关系构造等比数列，属于基础试题
 

14.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，由题知方程，即方程恰有两解，
设，则，
当时，，当时，，
在上是增函数，在上是减函数，且，
作出函数与函数的图象如下图所示：

当时，，且，
在处的切线方程为，
当或时，函数的图象与函数的图象恰有个交点．
故答案为：．
方程，即方程恰有两解，即两个函数图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意，天后两只老鼠打洞之和：
，
墙厚尺，
，
解得
故答案为：
由题意，根据等比数列的前项和，可将天后两只老鼠打洞之和表示为的形式，由墙厚尺求出结果．
本题考查了等比数列的前项和，考查了指数不等式，主要考查计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，
因为，
所以设的方程为，
代入抛物线方程得，所以，为方程的解，从而，，
，可得，，相交于点．
可得，，
因此，即，
所以．
故答案为：．
设，，设的方程为，代入抛物线方程得，所以，为方程的解，从而，利用函数的导数求解切线的斜率，然后求解．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

17.【答案】解：由题意得，
解得，
故的通项公式为．
证明：由可知，
记，
则． 

【解析】根据条件列出关于和的方程组，解方程可得，，从而可求出通项公式；
利用裂项相消法求得数列的和可证得结论．
本题考查了等差数列的通项公式，数列的求和问题，属于中档题．
 

18.【答案】证明：底面，底面，，
又，，平面；
平面；
证明：连接并延长交的延长线于点，连接，
是线段的中点，是线段的中点，
又是线段的中点，，
平面，平面，平面；

解：，为异面直线与所成的角，，
在中，可得，
． 

【解析】由已知可得，结合可证平面；
连接并延长交的延长线于点，连接，即可得到，从而得证；
由异面直线与所成的角为，可得，再由已知结合棱柱体积公式求解．
本题考查线面垂直，线面平行的证明，以及空间几何体的求法，属中档题．
 

19.【答案】解：若数列是等比数列，
则为非零常数，
即对于任意恒成立，
则，解得，
故当时，数列是等比数列；
由可知数列是公比为的等比数列，且首项为，
所以，
所以． 

【解析】根据数列是等比数列可得为非零常数，从而对于任意恒成立，进一步可得的值；
由可知数列是公比为的等比数列，且首项为，从而可得的通项公式，进一步可得．
本题考查数列的递推公式及等比数列的定义，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：的定义域为，，
，
．
对任意，使得成立，
可化为，
令，则，
，．
令，
则，
在上为增函数，
，，
故存在唯一的，使得，
即，
当时，，，在上为减函数；
当时，，，在上为增函数．
，
，
，
，，
的最大值为． 

【解析】首先对求导，求出点处的切线方程与相等即可；
由题意转换为：令，则利用导数求出的最小值即可．
本题主要考查了函数单调性，函数的切线方程求法，以及构造新函数比较大小，属难题．
 

21.【答案】解：因为抛物线：经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；
设，，直线的方程为，
将直线的方程与抛物线方程联立，得，
得，
，．
所以，
所以，
又抛物线的准线为，
所以，，
解得，，
． 

【解析】待定系数法去求抛物线的方程；
将直线的方程与抛物线方程联立，以设而不求的方法去求的面积．
本题考查了抛物线的方程及直线与抛物线的综合运用，也考查了学生的计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，，
，
，
曲线在点处的切线方程为．
函数在有两个零点方程在有两个正实数根函数与有两个交点横坐标，
，
可得函数在上单调递增，在上单调递减．
时，取得极大值即最大值，
又，，．
函数与有两个交点，
．
实数的取值范围是． 

【解析】，，利用导数的运算法则可得，切线斜率，利用点斜式即可得出曲线在点处的切线方程．
函数在有两个零点方程在有两个正实数根函数与有两个交点横坐标，利用导数的运算法则可得，研究函数的单调性与值域等，进而得出实数的取值范围．
本题考查了利用导数研究切线的斜率、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．