2021-2022学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期联考（三）数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期联考（三）数学（文）试题

一、单选题

1．复数满足，则复数的虚部为（       ）

A． B．-1 C．1 D．

【答案】B

【分析】先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以复数的虚部为-1，

故选：B

2．如图所示的是一个结构图，在框①②③中应分别填入（       ）

A．虚数，整数，分数 B．复数，虚数，整数

C．虚数，复数，纯虚数 D．复数，虚数，纯虚数

【答案】D

【分析】根据复数的分类和虚数的分类，结合结构图的意义得到答案.

【详解】复数分为实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，

故选：D

3．用反证法证明命题“若为实数，则方程至少有一个实数解”时，要做的假设是（       ）

A．方程没有实数解 B．方程至多有一个实根

C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根

【答案】A

【分析】利用反证法的定义可得出结论.

【详解】用反证法证明命题“若为实数，则方程至少有一个实数解”时，

要做的假设是“方程没有实数解”.

故选：A.

4．甲、乙、丙、丁四名同学在建立关于变量、的回归模型时，分别选择了种不同的模型，并计算出了相应的相关系数，如下表，则模型拟合程度最好的是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】根据相关指数的大小与模型拟合程度之间的关系可得出结论.

【详解】由表格中的数据可知，丙模型的相关指数绝对值最大，因此，丙模型的拟合效果最好.

故选：C.

5．已知，函数在上是增函数，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出、中实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】由可得，解得，即，

若函数在上是增函数，则，即，

因为，因此，是的充分不必要条件.

故选：A.

6．执行如图所示的程序框图，则输出的（       ）

A．4 B．8 C．11 D．19

【答案】B

【分析】模拟执行程序，即可计算出输出值；

【详解】解：开始，，，

则，满足，，，

则，满足，，，

则，不满足，输出的，

故选：B

7．已知曲线，命题若，则C为椭圆，命题若，则C为圆，则下列命题为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆和圆的方程的特征判定命题的真假，然后判定复合命题的真假.

【详解】当时方程可化为,表示以原点为圆心，半径为的圆，

此时满足，但曲线不是椭圆，故命题为假命题，为真命题，

所以命题为真命题，为假命题，

所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，

故选：B.

8．已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设切点为，利用导数写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程.

【详解】设切点为，，则切线斜率为，

所以，所求切线方程为，

将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得，

因此，所求切线方程为.

故选：C.

9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，，，．该数列的特点如下：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】推导出当时，，结合可求得所求代数式的值.

【详解】当时，，则，

故当时，

，

此时，

又因为，因此，.

故选：C.

10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则外接圆的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】已知和正弦定理联立求解可得角B，再由正弦定理可得半径，然后可得.

【详解】由正弦定理知

所以

整理得

因为，所以

所以，即

所以外接圆的半径为

所以外接圆的面积为.

故答案为：A

11．设复数，满足，，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数所表示的向量的几何意义，得到，进而求解.

【详解】由于以复数所表示的向量,为邻边作平行四边形，

则,，

由于

∴,

∵,，

∴，

故选：B

12．已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先通过不等式分析，排除的可能性，对于,将不等式分离参数，得到，分析排除的情况，然后令，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为，进而求解.

【详解】当时，即为,即,不成立；

当时不等式等价于,

由于，故不成立；

当时，不等式等价于，

若，则不等式对于任意的恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意；

当时，令，则，

在上，∴单调递增，在上，∴单调递减，且在(上,在上,

又∵在趋近于时，趋近于0，

∴在上的图象如图所示：

∵，∴当时，不等式等价于有两个整数解，这两个整数解必然是和0，充分必要条件是,即,∴，

故选：C

【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤.

二、填空题

13．已知，复数是纯虚数，则_______．

【答案】

【分析】根据纯虚数的定义：实部为零且虚部不为零，列方程组求解.

【详解】由已知得，

由（1）解得或,代入（2）中检验，只有符合，

故答案为：.

14．已知，，则的最小值为_______．

【答案】

【分析】根据已知换元后，时当配凑，利用基本不等式求最小值.

【详解】∵，，

∴，

当且仅当,即时取“等号”，

∴的最小值为,

故答案为：.

15．已知变量y与的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的回归方程为．

若，则_______．

【答案】9

【分析】令，将非线性回归方程转化为线性回归方程，利用样本中点求得参数，可得答案.

【详解】令，则，

故由表中数据可得 取 ，故 ，

而，

故 ，

故时，，即，

解得 ，（负值舍去）,

故答案为：9

16．已知在正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_______．

【答案】

【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．

【详解】设底面边长为a，则高h，其中，

所以体积Va2h，

设＝9a4a6，则，

当时，单调递增；

当时,单调递减，

∴当a＝时，该四棱锥的体积最大，

此时h，

故答案为：．

三、解答题

17．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为其中t为参数，，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)求曲线，的极坐标方程；

(2)若，曲线，交于M，N两点，求的值．

【答案】(1)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为；

(2)

【分析】（1）首先将参数方程化为普通方程，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程；

（2）将代入曲线的极坐标方程，再设所得方程的两根分别为，利用韦达定理及计算可得；

【详解】(1)解：曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为，由，

所以整理得，即曲线的极坐标方程为；

曲线的参数方程为（为参数），则曲线的普通方程，即，由，

所以曲线的极坐标方程为；

(2)解：将代入曲线的极坐标方程得，

设方程的两根分别为，则，，

所以

18．某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图.

(1)根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理由；

(2)将这40名顾客的评分的中位数记为，并将评分超过和不超过的顾客数填入下面的列联表；

(3)根据（2）中的列联表，能否有90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与性别有关？

附：.

【答案】(1)男顾客，理由见解析

(2)列联表见解析

(3)没有

【分析】（1）直接观察茎叶图即可求解；

（2）先计算中位数，再填表格即可；

（3）直接计算出即可判断.

【详解】(1)男顾客对该商场的服务质量更认可.

理由如下：由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，

故男顾客对该商场的服务质量更认可.（考生如果给出其他合理理由也可得分）

(2)由茎叶图可知，.

列联表如下：

(3)

故没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关.

19．在数列中，，．

(1)求的通项公式．

(2)若，记数列的前n项和为，证明：．

【答案】(1)

(2)详见解析

【分析】（1）根据，利用累加法求解；

（2）由（1）得到，利用裂项相消法求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

，

，

，

又适合上式，

所以；

(2)由（1）知：，

所以，

，

因为，

所以是递增数列，

所以.

20．（1）用综合法证明：已知、、都是实数，．

（2）用分析法证明：对于任意、，都有．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由作差法可得出，同理可得出，，利用不等式的基本性质可证得原不等式成立；

（2）要证，即证，再利用作差法结合不等式的基本性质可证得原不等式成立.

【详解】证明：（1）因为、、都是实数，且，，

同理，，

所以，

，

所以，，当且仅当时，等号成立；

（2）要证，即证，

因为、，则，，，，

因为

，

因此，.

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且C过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点，过且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于A，B两点，，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)，或

【分析】（1）利用椭圆定义求得，求得，再由可得答案；

（2）设的直线方程为，， 由得，椭圆方程与直线方程联立再利用韦达定理可得答案.

【详解】(1)因为，所以，，

，所以，

又，所以，

所以椭圆的方程为.

(2)由（1）椭圆的方程为，

因为，所以在椭圆的内部，

由已知设的直线方程为，，

由得，

所以，

，

因为，所以，

可得，即，

解得或，

所以直线设的方程为，或.

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程．

(2)证明：当，时，．

【答案】(1).

(2)证明见解析.

【分析】(1)代入，得到，进而利用导数的切线方程公式即可求解；

(2)利用放缩进行证明，先证明时，和，进而对进行放缩，进而证明当，时，成立

【详解】(1)，，，得切点为，又由，得，所以，所求的切线方程为：，整理得，

(2)设时，，，

得，所以，，，

化简得，，又，，所以，

.

又因为对于函数，当时，单调递减，，

，.

综上所述，当，时，成立

【点睛】关键点睛：解题的关键点在于，先证明时，和，然后，通过放缩，得到，进而令，讨论的最大值，最后证明成立，属于难题