2021-2022学年河南省豫西顶级名校高二下学期4月联考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省豫西顶级名校高二下学期4月联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知、为非零实数，若且，则下列不等式成立的是(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作差法即可逐项判断.

【详解】或，

对于A：，∵，无法判断正负，故A错误；

对于B：，∵无法判断正负，故B错误；

对于C：，∵，，∴，，故C错误；

对于D：，∴，故D正确.

故选：D.

2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（       ）

A．40 B．42 C．43 D．45

【答案】B

【分析】根据已知求出公差即可得出.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，，所以，

则.

故选：B.

3．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=

A． B．7 C．6 D．

【答案】A

【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝

故答案为

【解析】等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．

4．中内角的对边分别为.若，，则A＝（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，得到，再，得到，利用余弦定理求解.

【详解】解：因为，

所以，

又，则，

所以，

又，

所以，

故选：D

5．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，

平移，当经过A时，

的最小值为-8，故选D.

6．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为(       )

A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线

C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线

【答案】D

【分析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.

【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.

故选：D

7．等差数列中，,，则当取最大值时，的值为

A．6 B．7 C．6或7 D．不存在

【答案】C

【详解】设等差数列的公差为

∵

∴

∴

∴

∵

∴当取最大值时，的值为或

故选C

8．下列命题错误的是(       )

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．命题“若，则”的否命题为“若，则”

C．若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件

D．“ ”是“”的充分不必要条件

【答案】C

【分析】根据逆否命题的定义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出、，根据充分条件和必要条件的概念可以判断C；解出不等式，根据充分条件和必要条件的概念可判断D.

【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；

命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；

若命题p：或；命题q：或，则：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要条件，故C错误；

或x＜1，故“ ”是“”的充分不必要条件，故D正确.

故选：C.

9．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】若△AF1B的周长为4,

由椭圆的定义可知,,

,,

，

所以方程为，故选A.

【解析】椭圆方程及性质

10．下列命题中正确的是（       ）

A．函数的最小值为2.

B．函数的最小值为2.

C．函数的最小值为

D．函数的最大值为

【答案】D

【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断

【详解】对于A，时为负值，故A错误

对于B，，而无解，无法取等，故B错误

对于

，当且仅当即时等号成立，

故，D正确，C错误

故选：D

11．设点P是双曲线，与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据几何关系得到是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.

【详解】点到原点的距离为，又因为在中，，

所以是直角三角形，即.

由双曲线定义知，又因为，

所以.

在中，由勾股定理得，

化简得，所以.

故选：C.

12．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（       ）

A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1

C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1

【答案】A

【分析】根据双曲线定义求解

【详解】,则

根据双曲线定义知的轨迹为的左半支

故选：A

二、填空题

13．设函数，，则实数a＝______．

【答案】2；

【分析】先对求导，再利用即可求解.

【详解】，所以，解得，

故答案为：.

14．下列程序执行后输出的结果是__________.

【答案】

【分析】根据程序计算出循环的每一步，即可得出输出结果.

【详解】根据算法语句，执行程序如下：

，，第一次循环，，，不成立；

第二次循环，，，不成立；

第三次循环，，，成立.

跳出循环体，输出.

故答案为：.

15．据统计，2019年湖北省内某著名景点每天的游客人数近似服从正态分布，则在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5400的概率为______________.

附：若，则，，.

【答案】0.0228

【分析】由已知可得，则，再由正态分布的对称性可求得的值

【详解】解：因为游客人数近似服从正态分布，

所以，所以，

所以，

所以在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5400的概率约为0.0228，

故答案为：0.0228

【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量的应用，考查正态分布曲线的对称性的应用，属于基础题

16．用秦九韶算法计算多项式当的值时，其中的值为_________ .

【答案】36

【分析】本题可以先将多项式转化为，再令即可求出结果.

【详解】，

，

当时，，

，，.

故答案为：.

三、解答题

17．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.

（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；

（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出命题的等价条件，根据“”是真命题，即可求出实数的取值范围．

（2）若“”为假命题，“”为真命题，则只有一个为真命题，即可求实数的取值范围．

【详解】（1）因为,不等式恒成立，

所以，解得，又“”是真命题等价于“”是假命题．

所以所求实数的取值范围是

（2）方程表示焦点在轴上的椭圆，

 “”为假命题，“”为真命题，

一个为真命题，一个为假命题，

当真假时， 则，此时无解．

当假真时，则，此时或

 综上所述，实数的取值范围是

【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题．

18．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示.根据以上数据，绘制了散点图.

(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；

(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，求其中的y值大于50的天数为1的概率.

参考数据：其中.

参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；.

【答案】(1)更适合

(2)，4023.87miu/mL

(3)

【分析】（1）根据散点图这些点的分布情况结合所学函数图象特点即可求解；

（2）由（1）知该问题为变量之间的关系为非线性，先将非线性转化为线性关系，结合题目给出数据求出回归直线的相关系数，进而求出回归直线方程，在代入换

为y关于x的回归方程，将代入方程中即可求出预报值.

（3）根据古典概型的计算公式即可求解.

【详解】(1)根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型.

(2)设，变换后可得，设，建立关于x的回归方程，

，所以

所以ω关于x的回归方程为，所以，

当时，，

即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL.

(3)由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，天数为1的概率

19．如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，，是的中点，是与的交点．

(1)求证：底面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取的中点，连接，，根据面面平行的判定和性质可得证；

（2）取AC的中点O，连接，BO，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．利用线面角的向量求解方法可求得答案.

【详解】(1)证明：取的中点，连接，，

∵是与的交点，且侧面为菱形，

∴是的中点∴，

∵底面，底面，

∴底面，

∵，，为中点，

∴，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又底面，底面，

∴底面，

∵，平面，平面，

∴平面底面，

∵平面

∴底面；

(2)解：取AC的中点O，连接，BO，

∵侧面为菱形，，

∴为正三角形，∴，

∵侧面底面，侧面底面，侧面，

∴底面，

∵底面为正三角形，为的中点，

∴，

以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵底面是边长为2的正三角形

∴，，，，

∴，，，

设平面的一个法向量为，

由得，令，得，

∴，

∴．

20．已知椭圆 的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的长度.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4．列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程．（2）直线与椭圆交于、两点且为直角，转化为 x1x2+y1y2=0．再利用弦长公式求解即可．

【详解】（1）由题意， ，

所以.

椭圆方程为

（2）设，，把代人，得.

因为为直角，所以，

得，，所以，

，

.

∴的长度为

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用．

21．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在底面的投影恰好为与的交点，.

（1）证明：；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）在平面图形中，过点作的垂线交于点，得，在中，利用余弦定理求得，根据相似可得，从而证出，再由平面，可得，利用线面垂直的判定定理可证出平面，进而证出.

（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由，利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】（1）证明：如图，在平面图形中，过点作的垂线交于点，

易得，故，

在中，由余弦定理知，

，

故.

由相似可知，，

又，∴，

故，∴.

又点在底面的投影为，∴平面，∴，

又，∴平面，∴.

（2）解：如图，以为原点，，，分别为，，轴

建立空间直角坐标系，由（1）知，

故，，，

，，，

故，，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，解得，故.

同理，可求得平面的一个法向量为，

设二面角为，

则.

【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、余弦定理解三角形、空间向量法求面面角，属于中档题.

22．已知直线l1，l2分别于抛物线y2＝x相切于A，B两点．

（1）若点A的坐标为（1，﹣1），求直线l1的方程；

（2）若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆（x+2）2+y2＝1上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求的取值范围．

【答案】（1）x+2y+1＝0；（2）.

【分析】（1）设直线l1：y+1＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，再由根的判别式等于零求得直线的斜率，由此可求得直线的方程．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求得直线，直线，得到点，．表示出直线AB方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系表示，可求得范围．

【详解】（1）由题意知直线l1，l2的斜率一定存在，设直线l1：y+1＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，得ky2﹣y﹣k﹣1＝0．

由△＝1+4k（k+1）＝0，得，则l1的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1： ，与抛物线方程y2＝x联立，得．

由 ，解得，所以直线，同理得直线，则，．

设点P（x0，y0），代入可得，则直线AB方程为．

与抛物线方程联立，得y2﹣2y0y+x0＝0，则有y1+y2＝2y0，y1y2＝x0．

则，，所以．

又点P在圆（x+2）2+y2＝1上，所以，即，所以.

所以的取值范围为.

【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.