初中数学华师大版九年级上册22.1 一元二次方程教学设计

22.1 一元二次方程

教学目标

1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．

2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．

3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．

教学重难点

【教学重点】

一元二次方程及其相关概念，把一元二次方程化为一般形式.

【教学难点】

应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入

参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的概念

【类型一】一元二次方程的识别

例1：下列选项中，是关于x的一元二次方程的是(　　)

A．x2＋＝1  B．3x2－2xy－5y2＝0

C．(x－1)(x－2)＝3  D．ax2＋bx＋c＝0

解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.

方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．

【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数

例2：关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．

解析：由题意得∴

∴k＝3.

方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．

探究点二：一元二次方程的一般形式

例3：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．

(1)3x2－2＝5x；

(2)9x2＝16；

(3)2x(3x＋1)＝17；

(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.

解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．

解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.

(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.

(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.

(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.

方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．

探究点三：列一元二次方程

例4：在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．

解析：设花边的宽度为xm，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.

方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．

探究点四：一元二次方程的解

【类型一】判断一元二次方程的解

例5：方程x2－2x＝0的解为(　　)

A．x1＝1，x2＝2  B．x1＝0，x2＝1

C．x1＝0，x2＝2  D．x1＝，x2＝2

解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.

方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．:

【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值

例6：已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是(　　)

A．1  B．－1

C．0  D．无法确定

解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.

方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．

三、板书设计

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.