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初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定课后作业题
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这是一份初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定课后作业题，共22页。
A．BC＝ADB．∠C＝∠DC．AC＝BDD．∠CBD＝∠DAC
2．（2021春•金牛区期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
3．（2020秋•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
4．（2021春•砀山县期末）一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带1，2或2，3去就可以了 B．带1，4或3，4去就可以了
C．带1，4或2，4或3，4去均可D．带其中的任意两块去都可以
5．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
6．（2021春•东平县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．无法计算
7．（2021春•福田区校级期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2021春•秦都区期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2021春•浦东新区月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12B．1＜AD＜6C．0＜AD＜6D．2＜AD＜12
10．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105°B．120°C．115°D．135°
二．填空题
11．（2021春•宁德期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则判定△BDC与△CEB全等的依据是 ．
12．（2021春•楚雄州期末）如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是 ．（填字母简写）
13．（2021春•峄城区期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 米．
14．（2021春•渠县期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，当AB+CE＝CD时，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2021春•泰兴市期末）如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为 ．
16．（2021春•招远市期末）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为 ．
三．解答题
17．（2021春•保山期末）如图，点C，F在BE上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF．
求证：∠A＝∠D．
18．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
19．（2020秋•阳信县期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
20．（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
21．（2021春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．（每行都要写理由）
22．（2021春•铁岭月考）如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．
（1）求证：△AOD≌△COB；
（2）求∠APC（用含α的式子表示）；
（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系．
23．（2021春•晋中期末）综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPO全等，求出相应的x的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春•凤翔县期末）如图，已知∠CAB＝∠DBA，则添加一个条件，不一定能使△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝ADB．∠C＝∠DC．AC＝BDD．∠CBD＝∠DAC
【解析】解：∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴当添加∠C＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD；
当添加AC＝BD时，可根据“SAS”判断△ABC≌△BAD；
当添加∠CBD＝∠DAC时，则∠ABC＝∠BAD，可根据“ASA”判断△ABC≌△BAD．
故选：A．
2．（2021春•金牛区期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解析】解：由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△DCE和△ABC中，
，
∴△DCE≌△ABC（SAS）．
故选：B．
3．（2020秋•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解析】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，
∴AD＝AF﹣EF+DE＝6﹣2+3＝7．
故选：A．
4．（2021春•砀山县期末）一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带1，2或2，3去就可以了 B．带1，4或3，4去就可以了
C．带1，4或2，4或3，4去均可D．带其中的任意两块去都可以
【解析】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，
带1、4可以用“角边角”确定三角形，
带2、4可以延长还原出原三角形，
故选：C．
5．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），
∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，
∴AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
故选：A．
6．（2021春•东平县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．无法计算
【解析】解：∵∠BAC＝∠DAE，
即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
故选：B．
7．（2021春•福田区校级期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
8．（2021春•秦都区期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，
故选：B．
9．（2021春•浦东新区月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12B．1＜AD＜6C．0＜AD＜6D．2＜AD＜12
【解析】解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，
∵AD是三角形的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵AB＝5，BE＝AC＝7，
∴7﹣5＜AE＜7+5，
即7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6．
故选：B．
10．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105°B．120°C．115°D．135°
【解析】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．
二．填空题
11．（2021春•宁德期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则判定△BDC与△CEB全等的依据是 HL ．
【解析】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL），
故答案为：HL．
12．（2021春•楚雄州期末）如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是 ．（填字母简写）
【解析】解：在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS）．
故答案为SSS．
13．（2021春•峄城区期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 200 米．
【解析】解：∵CD∥AB，
∴∠C＝∠B，
在△CPD和△BPA中，
，
∴△CPD≌△BPA（ASA），
∴AB＝CD＝200（米），
故答案为：200．
14．（2021春•渠县期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，当AB+CE＝CD时，则图中阴影部分的面积为 24 ．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
∵AB+CE＝CD，CE+DE＝CD，
∴AB＝DE，
在△BAF和△EDF中，
，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△EDF，
∵AC＝6，AD＝8，
∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF
＝S△ACD
＝•AC•AD
＝×6×8
＝24，
故答案为：24．
15．（2021春•泰兴市期末）如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为 55° ．
【解析】解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠D＝∠E，
∵∠DPE+∠1+∠E＝∠DCE+∠2+∠D，
而∠1＝∠2，
∴∠DPE＝∠DCE＝55°，
∴∠APB＝∠DPE＝55°．
故答案为55°．
16．（2021春•招远市期末）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为 30° ．
【解析】解：如图所示：
∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的平分线，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，
在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO＝∠D，
又∵∠BAC＝100°，
∴∠CAO＝＝，
又∵AD＝AO，
∴∠D＝∠AOD，
又∵∠CAO＝∠D+∠AOD，
∴∠D＝＝＝25°，
∴∠CBO＝25°，
∴∠CBA＝50°，
又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
故答案为30°．
三．解答题
17．（2021春•保山期末）如图，点C，F在BE上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF．
求证：∠A＝∠D．
【解析】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
18．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
【解析】解：（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB；
（2）证明：在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C，BF＝CF．
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴BD＝CE，
∴AB﹣BD＝AC﹣CE，
∴AD＝AE．
19．（2020秋•阳信县期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AC＝20，CF＝BE＝4，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
20．（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
【解析】（1）证明；∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE与△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC．
21．（2021春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．（每行都要写理由）
【解析】证明：∵AB＝AC，（已知）
∴∠B＝∠C．（等边对等角）
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，（三角形外角定理）
∠ADC＝∠ADE+∠CDE．（角的运算）
且∠ADE＝∠B，（已知）
∴∠BAD＝∠CDE．（等量代换）
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
∴AD＝DE．（全等三角形的对应边相等）
22．（2021春•铁岭月考）如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．
（1）求证：△AOD≌△COB；
（2）求∠APC（用含α的式子表示）；
（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
∴∠AOD＝∠COB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS）；
（2）由（1）可知△AOD≌△COB，
∴∠OAD＝∠OCB，
令AD与OC交于点E，
则∠AEC＝∠OAD+∠AOC＝∠OCB+∠APC，
∴∠AOC＝∠APC，
∵∠AOC＝α，
∴∠APC＝α；
（3）∵△AOD≌△COB，
∴∠PAO＝∠BCO，即∠MAO＝∠NCO，
∵OM⊥AD，ON⊥BC，
∴∠AMO＝∠CNO＝90°，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OM＝ON．
23．（2021春•晋中期末）综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPO全等，求出相应的x的值．
【解析】解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PO．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝7，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BOP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：，．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
A．BC＝ADB．∠C＝∠DC．AC＝BDD．∠CBD＝∠DAC
2．（2021春•金牛区期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
3．（2020秋•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
4．（2021春•砀山县期末）一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带1，2或2，3去就可以了 B．带1，4或3，4去就可以了
C．带1，4或2，4或3，4去均可D．带其中的任意两块去都可以
5．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
6．（2021春•东平县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．无法计算
7．（2021春•福田区校级期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2021春•秦都区期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2021春•浦东新区月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12B．1＜AD＜6C．0＜AD＜6D．2＜AD＜12
10．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105°B．120°C．115°D．135°
二．填空题
11．（2021春•宁德期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则判定△BDC与△CEB全等的依据是 ．
12．（2021春•楚雄州期末）如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是 ．（填字母简写）
13．（2021春•峄城区期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 米．
14．（2021春•渠县期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，当AB+CE＝CD时，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2021春•泰兴市期末）如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为 ．
16．（2021春•招远市期末）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为 ．
三．解答题
17．（2021春•保山期末）如图，点C，F在BE上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF．
求证：∠A＝∠D．
18．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
19．（2020秋•阳信县期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
20．（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
21．（2021春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．（每行都要写理由）
22．（2021春•铁岭月考）如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．
（1）求证：△AOD≌△COB；
（2）求∠APC（用含α的式子表示）；
（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系．
23．（2021春•晋中期末）综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPO全等，求出相应的x的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春•凤翔县期末）如图，已知∠CAB＝∠DBA，则添加一个条件，不一定能使△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝ADB．∠C＝∠DC．AC＝BDD．∠CBD＝∠DAC
【解析】解：∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴当添加∠C＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD；
当添加AC＝BD时，可根据“SAS”判断△ABC≌△BAD；
当添加∠CBD＝∠DAC时，则∠ABC＝∠BAD，可根据“ASA”判断△ABC≌△BAD．
故选：A．
2．（2021春•金牛区期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解析】解：由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△DCE和△ABC中，
，
∴△DCE≌△ABC（SAS）．
故选：B．
3．（2020秋•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解析】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，
∴AD＝AF﹣EF+DE＝6﹣2+3＝7．
故选：A．
4．（2021春•砀山县期末）一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带1，2或2，3去就可以了 B．带1，4或3，4去就可以了
C．带1，4或2，4或3，4去均可D．带其中的任意两块去都可以
【解析】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，
带1、4可以用“角边角”确定三角形，
带2、4可以延长还原出原三角形，
故选：C．
5．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），
∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，
∴AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
故选：A．
6．（2021春•东平县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．无法计算
【解析】解：∵∠BAC＝∠DAE，
即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
故选：B．
7．（2021春•福田区校级期中）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
8．（2021春•秦都区期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，
故选：B．
9．（2021春•浦东新区月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12B．1＜AD＜6C．0＜AD＜6D．2＜AD＜12
【解析】解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，
∵AD是三角形的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵AB＝5，BE＝AC＝7，
∴7﹣5＜AE＜7+5，
即7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6．
故选：B．
10．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105°B．120°C．115°D．135°
【解析】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．
二．填空题
11．（2021春•宁德期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则判定△BDC与△CEB全等的依据是 HL ．
【解析】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL），
故答案为：HL．
12．（2021春•楚雄州期末）如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是 ．（填字母简写）
【解析】解：在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS）．
故答案为SSS．
13．（2021春•峄城区期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 200 米．
【解析】解：∵CD∥AB，
∴∠C＝∠B，
在△CPD和△BPA中，
，
∴△CPD≌△BPA（ASA），
∴AB＝CD＝200（米），
故答案为：200．
14．（2021春•渠县期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，当AB+CE＝CD时，则图中阴影部分的面积为 24 ．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
∵AB+CE＝CD，CE+DE＝CD，
∴AB＝DE，
在△BAF和△EDF中，
，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△EDF，
∵AC＝6，AD＝8，
∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF
＝S△ACD
＝•AC•AD
＝×6×8
＝24，
故答案为：24．
15．（2021春•泰兴市期末）如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为 55° ．
【解析】解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠D＝∠E，
∵∠DPE+∠1+∠E＝∠DCE+∠2+∠D，
而∠1＝∠2，
∴∠DPE＝∠DCE＝55°，
∴∠APB＝∠DPE＝55°．
故答案为55°．
16．（2021春•招远市期末）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为 30° ．
【解析】解：如图所示：
∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的平分线，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，
在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO＝∠D，
又∵∠BAC＝100°，
∴∠CAO＝＝，
又∵AD＝AO，
∴∠D＝∠AOD，
又∵∠CAO＝∠D+∠AOD，
∴∠D＝＝＝25°，
∴∠CBO＝25°，
∴∠CBA＝50°，
又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
故答案为30°．
三．解答题
17．（2021春•保山期末）如图，点C，F在BE上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF．
求证：∠A＝∠D．
【解析】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
18．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；
（2）求证：AD＝AE．
【解析】解：（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB；
（2）证明：在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C，BF＝CF．
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴BD＝CE，
∴AB﹣BD＝AC﹣CE，
∴AD＝AE．
19．（2020秋•阳信县期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AC＝20，CF＝BE＝4，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
20．（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
【解析】（1）证明；∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE与△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC．
21．（2021春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．（每行都要写理由）
【解析】证明：∵AB＝AC，（已知）
∴∠B＝∠C．（等边对等角）
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，（三角形外角定理）
∠ADC＝∠ADE+∠CDE．（角的运算）
且∠ADE＝∠B，（已知）
∴∠BAD＝∠CDE．（等量代换）
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
∴AD＝DE．（全等三角形的对应边相等）
22．（2021春•铁岭月考）如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．
（1）求证：△AOD≌△COB；
（2）求∠APC（用含α的式子表示）；
（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
∴∠AOD＝∠COB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS）；
（2）由（1）可知△AOD≌△COB，
∴∠OAD＝∠OCB，
令AD与OC交于点E，
则∠AEC＝∠OAD+∠AOC＝∠OCB+∠APC，
∴∠AOC＝∠APC，
∵∠AOC＝α，
∴∠APC＝α；
（3）∵△AOD≌△COB，
∴∠PAO＝∠BCO，即∠MAO＝∠NCO，
∵OM⊥AD，ON⊥BC，
∴∠AMO＝∠CNO＝90°，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OM＝ON．
23．（2021春•晋中期末）综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPO全等，求出相应的x的值．
【解析】解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PO．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝7，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BOP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：，．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
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