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人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质综合训练题
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这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质综合训练题，共23页。
人教版八年级上 12.3角的平分线的性质同步练习
一．选择题
1．（2020秋•播州区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的面积比为（ ）
A．5：4 B．3：4 C．4：5 D．4：3
2．（2021春•滕州市期末）如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
3．（2021春•娄星区校级期中）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
4．（2021春•曲江区校级期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
5．（2021春•峡江县期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，S△ABC＝14，则DE的长是（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
6．（2021春•温县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法确定
7．（2021春•成都月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020秋•太湖县期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．70° B．120° C．125° D．130°
9．（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．（2021春•开江县期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
11．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 ．
12．（2021春•乾县期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC＝18，AB＝8，BC＝4，则DE＝ ．
13．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 cm2．
14．（2021春•莲湖区期中）如图，将直角三角板CDE的直角顶点E放在线段AB上，此时DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，试说明AD∥BC．
下面是排乱的说明过程：
①所以AD∥BC；②所以∠ADC+∠BCD＝180；③因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2；④又因为∠DEC＝90°，所以∠1+∠2＝90°．则正确的顺序应是 ．（只填序号）
15．（2021春•靖远县期末）如图，在△ABC中，AB+AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则图中阴影部分的面积等于 ．
16．（2020秋•鼓楼区校级期中）三牧中学初二某班开展探究活动，研究如何“作∠AOB的角平分线”，几位同学整理出了几种思路，希望得到角平分线上的点P：
①以O为圆心，以3cm为半径，依次交OA，OB于C，D两点，再以5cm为半径，依次交OA，OB于E，F两点，连接CF，DE交于点P；
②将直线OA，OB平移相同的距离，在∠AOB的内部交于点P；
③以O为圆心，任意长度为半径，依次交OA，OB于M，N两点，分别过M，N作OA，OB的垂线，交于P点；
④作直线l，分别交OA，OB于G，H，再分别作出∠AGH和∠BHG的角平分线，交于点P．
其中，能说明OP平分∠AOB的说法是 ．（填序号）
三．解答题
17．（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
18．（2020秋•灵山县期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
19．（2021春•济宁期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．
20．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
21．（2021春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）若AB＝14，AF＝8，求CF的长．
22．（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋•播州区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的面积比为（ ）
A．5：4 B．3：4 C．4：5 D．4：3
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4．
故选：A．
2．（2021春•滕州市期末）如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
【解析】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，
∴AC＝，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝，
故选：C．
3．（2021春•娄星区校级期中）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∵∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点H，
∴∠HAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD）＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，
∴△AHC是直角三角形．
∵E为AC的中点，EH＝4，
∴AC＝2EH＝8．
故选：A．
4．（2021春•曲江区校级期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
【解析】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥BA，
∴DH＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×5×4+×9×4＝28．
故选：B．
5．（2021春•峡江县期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，S△ABC＝14，则DE的长是（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
【解析】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△DBC+S△DAC＝S△ABC，
∴×DE×10+×DF×4＝14，
即5DE+2DE＝14，
∴DE＝2．
故选：A．
6．（2021春•温县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法确定
【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：A．
7．（2021春•成都月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
8．（2020秋•太湖县期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．70° B．120° C．125° D．130°
【解析】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
9．（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积，
设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积，
∴24﹣S＝18+S，
解得，S＝3，
故选：B．
10．（2021春•开江县期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解析】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
∴△APH≌△FPD，
∴PH＝PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
二．填空题
11．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 ．
【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
12．（2021春•乾县期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC＝18，AB＝8，BC＝4，则DE＝ 3 ．
【解析】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BDC＝AB•DE+BC•DF＝18，
即×8•DE+×4•DE＝18，
解得：DE＝3，
故答案为：3．
13．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 15 cm2．
【解析】解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F，
∵∠ABC，ACB的平分线交于点O，
∴OE＝OF，OG＝OF，
∴OE＝OF＝OG，
∵点O到AC边的距离为cm，
∴OE＝OF＝OG＝cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO
＝
＝××（AB+BC+AC）
＝×20
＝15（cm2），
故答案为：15．
14．（2021春•莲湖区期中）如图，将直角三角板CDE的直角顶点E放在线段AB上，此时DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，试说明AD∥BC．
下面是排乱的说明过程：
①所以AD∥BC；②所以∠ADC+∠BCD＝180；③因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2；④又因为∠DEC＝90°，所以∠1+∠2＝90°．则正确的顺序应是 ③④②① ．（只填序号）
【解析】证明：
∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴2∠1+2∠2＝180°，
即∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC．
故答案为：③④②①．
15．（2021春•靖远县期末）如图，在△ABC中，AB+AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则图中阴影部分的面积等于 30 ．
【解析】解：如右图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，过O作OF⊥AC于F，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理有OF＝3，
∴S阴影＝S△AOB+S△AOC＝AB•OE+AC•OF＝（AB+AC）•OE＝×20×3＝30．
故答案是30．
16．（2020秋•鼓楼区校级期中）三牧中学初二某班开展探究活动，研究如何“作∠AOB的角平分线”，几位同学整理出了几种思路，希望得到角平分线上的点P：
①以O为圆心，以3cm为半径，依次交OA，OB于C，D两点，再以5cm为半径，依次交OA，OB于E，F两点，连接CF，DE交于点P；
②将直线OA，OB平移相同的距离，在∠AOB的内部交于点P；
③以O为圆心，任意长度为半径，依次交OA，OB于M，N两点，分别过M，N作OA，OB的垂线，交于P点；
④作直线l，分别交OA，OB于G，H，再分别作出∠AGH和∠BHG的角平分线，交于点P．
其中，能说明OP平分∠AOB的说法是 ①②③④ ．（填序号）
【解析】解：①如图1中，
在△OED和△OFC中，
，
∴△OED≌△OFC（SAS），
∴∠OEP＝∠OFP，
在△PEC和△PFD中，
，
∴△PEC≌△PFD（AAS），
∴PC＝PD，
在△OPC和△OPD中，
，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴∠POC＝∠POD，
即OP平分∠AOB．
②如图2中，过点P作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．
由题意PG＝PH，
∴OP平分∠AOB．
③如图3中，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴PM＝PN，
∴OP平分∠AOB．
④如图4中，过点P作PE⊥OA于E，PT⊥GH于T，PF⊥OB于F．
∵PG平分∠AGH，PE⊥GA，PT⊥GH，
∴PE＝PT，
∵PH平分∠BHG，PF⊥GB，PT⊥GH，
∴PF＝PT，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB，
故答案为：①②③④．
三．解答题
17．（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
【解析】解：小明的做法可行．理由如下：
在直角尺DEMN中，DN∥EM，
∴∠DPO＝∠POM，
∵DP＝OD，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POM＝∠DOP，
∴OC平分∠AOB．
18．（2020秋•灵山县期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
【解析】（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，
则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，
∵AP平分∠CAB，BP平分∠ABC，
∴PD＝PF，PD＝PE，
∴PF＝PE，
∴CP平分∠ACB；
（2）解：∵∠CAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
在Rt△PAD中，PA＝4，
∴PD＝2，
∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA
＝AB•PD+BC•PE+CA•PF
＝（AB+BC+CA）•PD
＝×20×2
＝20．
19．（2021春•济宁期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．
【解析】证明：如图：
过M作ME⊥AD于E，
∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，
∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，
在△MCD和△MED中
∴△MCD≌△MED（AAS），
∴CD＝DE，
同理：AE＝AB，
∴AD＝AE+DE＝CD+AB．
20．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
【解析】解：AD⊥EF．理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠EAF，
∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一）．
21．（2021春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）若AB＝14，AF＝8，求CF的长．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
又AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
设CF＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝14﹣x，AC＝AF+CF＝8+x，
∴14﹣x＝8+x，解得：x＝3．
故CF＝3．
22．（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【解析】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
人教版八年级上 12.3角的平分线的性质同步练习
一．选择题
1．（2020秋•播州区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的面积比为（ ）
A．5：4 B．3：4 C．4：5 D．4：3
2．（2021春•滕州市期末）如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
3．（2021春•娄星区校级期中）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
4．（2021春•曲江区校级期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
5．（2021春•峡江县期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，S△ABC＝14，则DE的长是（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
6．（2021春•温县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法确定
7．（2021春•成都月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020秋•太湖县期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．70° B．120° C．125° D．130°
9．（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．（2021春•开江县期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
11．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 ．
12．（2021春•乾县期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC＝18，AB＝8，BC＝4，则DE＝ ．
13．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 cm2．
14．（2021春•莲湖区期中）如图，将直角三角板CDE的直角顶点E放在线段AB上，此时DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，试说明AD∥BC．
下面是排乱的说明过程：
①所以AD∥BC；②所以∠ADC+∠BCD＝180；③因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2；④又因为∠DEC＝90°，所以∠1+∠2＝90°．则正确的顺序应是 ．（只填序号）
15．（2021春•靖远县期末）如图，在△ABC中，AB+AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则图中阴影部分的面积等于 ．
16．（2020秋•鼓楼区校级期中）三牧中学初二某班开展探究活动，研究如何“作∠AOB的角平分线”，几位同学整理出了几种思路，希望得到角平分线上的点P：
①以O为圆心，以3cm为半径，依次交OA，OB于C，D两点，再以5cm为半径，依次交OA，OB于E，F两点，连接CF，DE交于点P；
②将直线OA，OB平移相同的距离，在∠AOB的内部交于点P；
③以O为圆心，任意长度为半径，依次交OA，OB于M，N两点，分别过M，N作OA，OB的垂线，交于P点；
④作直线l，分别交OA，OB于G，H，再分别作出∠AGH和∠BHG的角平分线，交于点P．
其中，能说明OP平分∠AOB的说法是 ．（填序号）
三．解答题
17．（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
18．（2020秋•灵山县期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
19．（2021春•济宁期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．
20．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
21．（2021春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）若AB＝14，AF＝8，求CF的长．
22．（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋•播州区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的面积比为（ ）
A．5：4 B．3：4 C．4：5 D．4：3
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4．
故选：A．
2．（2021春•滕州市期末）如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
【解析】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，
∴AC＝，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝，
故选：C．
3．（2021春•娄星区校级期中）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∵∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点H，
∴∠HAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD）＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，
∴△AHC是直角三角形．
∵E为AC的中点，EH＝4，
∴AC＝2EH＝8．
故选：A．
4．（2021春•曲江区校级期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
【解析】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥BA，
∴DH＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×5×4+×9×4＝28．
故选：B．
5．（2021春•峡江县期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，S△ABC＝14，则DE的长是（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
【解析】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△DBC+S△DAC＝S△ABC，
∴×DE×10+×DF×4＝14，
即5DE+2DE＝14，
∴DE＝2．
故选：A．
6．（2021春•温县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法确定
【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：A．
7．（2021春•成都月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
8．（2020秋•太湖县期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．70° B．120° C．125° D．130°
【解析】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
9．（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积，
设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积，
∴24﹣S＝18+S，
解得，S＝3，
故选：B．
10．（2021春•开江县期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解析】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
∴△APH≌△FPD，
∴PH＝PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
二．填空题
11．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 ．
【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
12．（2021春•乾县期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC＝18，AB＝8，BC＝4，则DE＝ 3 ．
【解析】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BDC＝AB•DE+BC•DF＝18，
即×8•DE+×4•DE＝18，
解得：DE＝3，
故答案为：3．
13．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 15 cm2．
【解析】解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F，
∵∠ABC，ACB的平分线交于点O，
∴OE＝OF，OG＝OF，
∴OE＝OF＝OG，
∵点O到AC边的距离为cm，
∴OE＝OF＝OG＝cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO
＝
＝××（AB+BC+AC）
＝×20
＝15（cm2），
故答案为：15．
14．（2021春•莲湖区期中）如图，将直角三角板CDE的直角顶点E放在线段AB上，此时DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，试说明AD∥BC．
下面是排乱的说明过程：
①所以AD∥BC；②所以∠ADC+∠BCD＝180；③因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2；④又因为∠DEC＝90°，所以∠1+∠2＝90°．则正确的顺序应是 ③④②① ．（只填序号）
【解析】证明：
∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴2∠1+2∠2＝180°，
即∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC．
故答案为：③④②①．
15．（2021春•靖远县期末）如图，在△ABC中，AB+AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则图中阴影部分的面积等于 30 ．
【解析】解：如右图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，过O作OF⊥AC于F，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理有OF＝3，
∴S阴影＝S△AOB+S△AOC＝AB•OE+AC•OF＝（AB+AC）•OE＝×20×3＝30．
故答案是30．
16．（2020秋•鼓楼区校级期中）三牧中学初二某班开展探究活动，研究如何“作∠AOB的角平分线”，几位同学整理出了几种思路，希望得到角平分线上的点P：
①以O为圆心，以3cm为半径，依次交OA，OB于C，D两点，再以5cm为半径，依次交OA，OB于E，F两点，连接CF，DE交于点P；
②将直线OA，OB平移相同的距离，在∠AOB的内部交于点P；
③以O为圆心，任意长度为半径，依次交OA，OB于M，N两点，分别过M，N作OA，OB的垂线，交于P点；
④作直线l，分别交OA，OB于G，H，再分别作出∠AGH和∠BHG的角平分线，交于点P．
其中，能说明OP平分∠AOB的说法是 ①②③④ ．（填序号）
【解析】解：①如图1中，
在△OED和△OFC中，
，
∴△OED≌△OFC（SAS），
∴∠OEP＝∠OFP，
在△PEC和△PFD中，
，
∴△PEC≌△PFD（AAS），
∴PC＝PD，
在△OPC和△OPD中，
，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴∠POC＝∠POD，
即OP平分∠AOB．
②如图2中，过点P作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．
由题意PG＝PH，
∴OP平分∠AOB．
③如图3中，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴PM＝PN，
∴OP平分∠AOB．
④如图4中，过点P作PE⊥OA于E，PT⊥GH于T，PF⊥OB于F．
∵PG平分∠AGH，PE⊥GA，PT⊥GH，
∴PE＝PT，
∵PH平分∠BHG，PF⊥GB，PT⊥GH，
∴PF＝PT，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB，
故答案为：①②③④．
三．解答题
17．（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
【解析】解：小明的做法可行．理由如下：
在直角尺DEMN中，DN∥EM，
∴∠DPO＝∠POM，
∵DP＝OD，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POM＝∠DOP，
∴OC平分∠AOB．
18．（2020秋•灵山县期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
【解析】（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，
则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，
∵AP平分∠CAB，BP平分∠ABC，
∴PD＝PF，PD＝PE，
∴PF＝PE，
∴CP平分∠ACB；
（2）解：∵∠CAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
在Rt△PAD中，PA＝4，
∴PD＝2，
∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA
＝AB•PD+BC•PE+CA•PF
＝（AB+BC+CA）•PD
＝×20×2
＝20．
19．（2021春•济宁期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．
【解析】证明：如图：
过M作ME⊥AD于E，
∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，
∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，
在△MCD和△MED中
∴△MCD≌△MED（AAS），
∴CD＝DE，
同理：AE＝AB，
∴AD＝AE+DE＝CD+AB．
20．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
【解析】解：AD⊥EF．理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠EAF，
∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一）．
21．（2021春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）若AB＝14，AF＝8，求CF的长．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
又AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
设CF＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝14﹣x，AC＝AF+CF＝8+x，
∴14﹣x＝8+x，解得：x＝3．
故CF＝3．
22．（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【解析】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
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