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广西梧州市2022年中考数学试卷解析版
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这是一份广西梧州市2022年中考数学试卷解析版，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广西梧州市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．25 的倒数是（ ）
A．52 B．−25 C．±25 D．−52
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵25×52=1 ，
∴25 的倒数是 52 .
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．在下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：选项A、圆柱的主视图为矩形，故此选项符合题意；
选项B、球的主视图为圆，故此选项不符合题意；
选项C、圆锥的主视图为三角形，故此选项不符合题意；
选项D、四面体的主视图为三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断即可得出答案.
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．−2 的绝对值是-2
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线 a∥c，b∥c ，那么直线 a∥b
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平行公理及推论；中心对称及中心对称图形；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 -2的绝对值是2，故原命题是假命题，符合题意；
B、对顶角相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，故原命题是真命题，不符合题意；
D、如果直线 a∥c，b∥c ，那么直线 a∥b ，故原命题是真命题，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此可判断A；根据对顶角的性质可判断B；根据中心对称图形的概念可判断C；根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可判断D.
4．一元二次方程 x2−3x+1=0 的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知： a=1，b=−3，c=1 ，
∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×1=5>0 ，
∴方程 x2−3x+1=0 由两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
5．不等式组 x>−1x<2 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集为： −1
【分析】根据数轴上表示不等式组解集的方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，即可一一判断得出答案.
6．如图，在 △ABC 中， AB=AC， AD 是 △ABC 的角平分线，过点D分别作 DE⊥AB， DF⊥AC ，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC=90∘ B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC， BD=CD ，
∴∠ADC=90∘ ，故A、D结论正确，不符合题意；
又AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， DF⊥AC ，
∴DE=DF ，故B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出AD=BC ，故C结论错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，BD=CD，据此判断A、D；根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断B.
7．已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A．平均数但不是中位数 B．平均数也是中位数
C．众数 D．中位数但不是平均数
【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：∵3+3+5+6+7+8+107=6 ，
∴这组数据的平均数为6，
∵这组数据从小到大排列，处在最中间的数据是6，
∴这组数据的中位数是6；
∵这组数据中3出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3.
故答案为：B.
【分析】利用数据之和除以数据的个数可得平均数，将这组数据从小到大排列，找出最中间的数据即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数，据此判断.
8．下列计算错误的是（ ）
A．a3⋅a5=a8 B．(a2b)3=a6b3 C．35+25=55 D．(a+b)2=a2+b2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 a3⋅a5=a8 ，计算正确，但不符合题意；
B、 (a2b)3=(a2)3b3=a6b3 ，计算正确，但不符合题意；
C、 35+25=55 ，计算正确，但不符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2 ，计算错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；积的乘方，先对每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；二次根式的加减法，就是合并同类二次根式，合并的时候只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，据此可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D.
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+b 与直线 y=−3x+6 相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组 y=2x+by=−3x+6 的解是（ ）
A．x=2y=0 B．x=1y=3 C．x=−1y=9 D．x=3y=1
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得直线 y=2x+b 与直线 y=−3x+6 相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组 y=2x+by=−3x+6 的解是 x=1y=3 .
故答案为：B.
【分析】根据两一次函数的交点坐标即为两解析式组成的二元一次方程组的解进行解答.
10．如图， ⊙O 是 △ABC 的外接圆，且 AB=AC，∠BAC=36° ，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接 BD，AD ，则 ∠BAD+∠ABD 的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB= 180°−36°2=72° ，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，结合内角和定理可得∠ACB的度数，然后根据∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB进行计算.
11．如图，以点O为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A'B'C'D' ﹐已知 OAOA'=13 ，若四边形 ABCD 的面积是2，则四边形 A'B'C'D' 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： SABCDSA'B'C'D'=(OAOA')2=(13)2=19 ，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′相似，然后结合相似图形的面积比等于相似比的平方进行解答.
12．如图，已知抛物线 y=ax2+bx−2 的对称轴是 x=−1 ，直线 l∥x 轴，且交抛物线于点 P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，下列结论错误的是（ ）
A．b2>−8a
B．若实数 m≠−1 ，则 a−b
D．当 y>−2 时， x1⋅x2<0
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx−2 的对称轴是 x=−1 ，
∴−b2a=−1 ，
∴b=2a ，
∵抛物线开口向上，
∴a>0 ，
∴b2+8a=4a2+8a>0 ，
∴b2>−8a ，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时， y最小值=a−b−2 ，
∴当实数 m≠−1 ，则 a−b−2
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵y>−2 ，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴x1⋅x2<0 ，故D说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，根据图象开口向上得a>0，则b2+8a=4a2+8a>0，据此判断A；由图象得当x=-1时，函数取得最小值，ymin=a-b-2，进而判断B；当x=1时，y=a+b-2<0，结合b=2a可判断C；由图象可得直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，据此判断D.
二、填空题
13．若 x=1 ，则 3x−2= .
【答案】1
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x=1 ，
∴3x−2=3×1−2=1 .
故答案为：1.
【分析】直接将x=1代入3x-2中进行计算即可.
14．在平面直角坐标系中，请写出直线 y=2x 上的一个点的坐标 .
【答案】（0，0）（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当x=0时，y=0，
∴直线y=2x上的一个点的坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）（答案不唯一）.
【分析】令x=0，求出y的值，可得直线y=2x上的一个点的坐标.
15．一元二次方程 (x−2)(x+7)=0 的根是 .
【答案】x1=2 或 x2=−7
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可知： x−2=0 或 x+7=0 ，
∴x1=2 或 x2=−7 ，
故答案为： x1=2 或 x2=−7 .
【分析】由两个因式的积等于0，则至少有一个因式等于0，得x-2=0或x+7=0，求解即可.
16．如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90∘ ，点D，E分别是 AB，AC 边上的中点，连接 CD，DE .如果 AB=5m ， BC=3m ，那么 CD+DE 的长是 m.
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=32 ，
∵∠ACB=90∘ ，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知： DC=12AB=52 ，
∴CD+DE=32+52=4 .
故答案为：4.
【分析】由题意可得DE是△ABC的中位线，则DE= 12BC=32，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得DC= 12 AB=52，据此计算.
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 y2=mx 的图象交于点 A(−2，2)，B(n，−1) .当 y1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 y2=mx 的图象经过A（-2，2），
∴m=-2×2=-4，
∴y=−4x ，
又反比例函数 y=−4x 的图象经过B（n，-1），
∴n=4，
∴B（4，-1），
观察图象可知：当 y1
【分析】将A（-2，2）代入y2=mx中求出m的值，可得反比例函数的解析式，将y=-1代入求出n的值，可得点B的坐标，然后根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
18．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于 12OA 的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交 ⊙O 于点E，F.若 OA=1 ，则 BE ， AE，AB 所围成的阴影部分面积为 .
【答案】π12+34−12
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接EO、BO，设EF与AO交于点H，如下图所示：
由尺规作图痕迹可知，MN为线段AO的垂直平分线，
∴EA=EO，
又EO=AO，
∴△EAO为等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴EH=32EO=32 ，
∴S弓形AOE=S扇形AOE−S△AOE=60π×OA2360−12×OA×EH=16π−34 ，
∴S阴影=S扇形AOB−S△AOB−S弓形AOE=14π−12×1×1−(16π−34)=π12+34−12 ，
故答案为： π12+34−12 .
【分析】连接EO、BO，设EF与AO交于点H，由尺规作图痕迹可知：MN为线段AO的垂直平分线，则EA=EO，推出△EAO为等边三角形，得到∠EOA=60°，根据三角函数的概念可得EH，然后根据S阴影=S扇形AOB-S△AOB-(S扇形AOE-S△AOE)结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
三、解答题
19．（1）计算： 9−5+(−3)×(−2)2
（2）化简： 3a+2(a2−a)−2a⋅3a .
【答案】（1）解：原式= 3−5+(−3)×(−2)2
= 3−5+(−3)×4
= 3−5−12
= −14
（2）解：原式= 3a+2a2−2a−6a2
= a−4a2
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算开方及乘方，再计算乘法，最后根据减法法则进行计算；
（2）先根据乘法分配律去括号，同时根据单项式与单项式的乘法法则计算乘法，然后合并同类项即可.
20．解方程： 1−23−x=4x−3
【答案】解：方程两边同时乘以 (x−3) 得到： x−3+2=4 ，
解出： x=5 ，
当 x=5 时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为： x=5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x-3)将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即可.
21．如图，在 ▱ABCD 中，E，G，H，F分别是 AB， BC， CD， DA 上的点，且 BE=DH， AF=CG .求证： EF=HG .
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
AF=CG∠A=∠CAE=CH ，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AB=CD，结合BE=DH以及线段的和差关系可得AE=CH，利用SAS证明△AEF≌△CHG，据此可得结论.
22．某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图①和图②.
（1）本次抽样调查的学生人数共 人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，滑冰挑选了甲，乙，丙，丁四名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲.请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率.
【答案】（1）50
（2）解：由图可得，滑冰的人数为 50−28−5−4−3=10 人，
∴补图如下：
（3）解：由题意知，列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
由表格可知，随机抽取2名共有12种等可能的结果，其中抽中两名学生分别是甲和乙共有2种等可能的结果，
∴抽中两名学生分别是甲和乙的概率为 212=16
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由题意知，调查的总人数为 510％=50 人.
故答案为：50；
【分析】（1）利用冰球的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数可得滑冰的人数，据此可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及抽中两名学生分别是甲和乙的情况数，然后根据概率公式进行计算.
23．今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上， AB⊥CB 垂足为点B， ∠ACB=52° ， ∠ADB=60° ， CD=200m ，求AB的高度.（精确到 1m ）（参考数据： sin52°≈0.79 ﹐ cos52°≈0.62 ﹐ tan52°≈1.28 ， 3≈1.73 ）
【答案】解：设AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=52°，
∴BC= ABtan∠ACB=xtan52°≈x1.28 ，
在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴BD= ABtan∠ADB=xtan60°≈x1.73 ，
又∵CD=200m，BC=CD+BD，
∴x1.28=200+x1.73 ，
解得 x≈984 ，
答：AB的高度约为984m.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】设AB=xm，根据三角函数的概念可得BC、BD，然后根据BC=CD+BD就可求出x的值.
24．梧州市地处亚热带，盛产龙眼.新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存.已知 3kg 的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成 1kg 的龙眼干.
（1）若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格.市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出 100kg ，超出部分平均售价是5元/kg，可售完.果农们都以这种方式出售新鲜龙眼.设某果农有 akg 新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式.
【答案】（1）解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，
解出：x≥36，
故龙眼干的售价应不低于36元/kg.
（2）解： a 千克的新鲜龙眼一共可以加工成 13×(1−6%)a=47150a 千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为 47150ay 元，
当 a≤100 千克时，新鲜龙眼的总收益为 12a 元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴47150ay≥12a ，解出 y≥12×15047=180047≈38.3 元，
又龙眼干的定价取最低整数价格，
∴y=39 ，
∴龙眼干的销售总收益为 47150a×39=61150a ，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差 w=61150a−12a=11a50 元；
当 a>100 千克时，新鲜龙眼的总收益为 12×100+5(a−100)=(5a+700) 元，
龙眼干的总销售收益为 61150a 元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
w=61150a−(5a+700)=(361a50−700) 元，
故 w 与 a 的函数关系式为 w=11a50，(a≤100)361a50−700，(a>100)
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设龙眼干的售价应不低于x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，则总销售收益为12×3a=36a元，加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax元，根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益可得关于x的不等式，求解即可；
（2）a千克的新鲜龙眼一共可以加工成13(1-6%)a=47150a千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为47150ay元，当a≤100千克时，新鲜龙眼的总收益为12a元，由龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得关于y的不等式，求出y的范围，据此得最低定价，然后表示出龙眼干的销售总收益 ，再作差即可；当a>100千克时，新鲜龙眼的总收益为[12×100+5(a-100)]元，龙眼干的总销售收益为61150a元，然后作差即可.
25．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−43x−4 分别与x，y轴交于点A，B，抛物线 y=518x2+bx+c 恰好经过这两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是 (0，6) ，将 △ACO 绕着点C逆时针旋转90°得到 △ECF ，点A的对应点是点E.
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 35BP+EP 取最小值时，点P的坐标.
【答案】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时， −43x−4=0 ，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线 y=518x2+bx+c ，
得 518×(−3)2−3b+c=0c=−4 ，
∴b=−12c=−4 ，
∴抛物线解析式为 y=518x2−12x−4
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时， y=518×62−12×6−4=3 ，
∴点E在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，
又∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PQB，
在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，
∴△ABO∽△PBQ，
∴AOAB=PQBP ，
∴35=PQBP ，
∴PQ=35BP ，
∴35BP+EP=PQ+EP ，
∴当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时， 35BP+EP 取最小值，
∵EP⊥AB，
∴设直线EP解析式为 y=34x+m ，
又E（6，0），
∴34×6+m=0 ，
∴m=−92 ，
∴直线EP解析式为 y=34x−92 ，
当x=0时，y= −92 ，
∴点P坐标为（0， −92 ）.
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标，然后代入y=518x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①易得AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°，则E（6，3），然后代入抛物线解析式中进行验证即可；②过点P作PQ⊥AB于Q，则∠AOB=∠PQB，根据勾股定理可得AB，易证△ABO∽△PBQ，根据相似三角形的性质可得PQ=35BP，则35BP+EP=PQ+EP，故当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时， 35BP+EP取最小值，求出直线EP的解析式，令x=0，求出y的值，可得点P的坐标.
26．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作 CD∥AB ，且 CD=OB .连接AD，分别交 OC，BC 于点E，F，与 ⊙O 交于点G，若 ∠ABC=45∘ .
（1）求证：①△ABF∽△DCF ；
②CD是 ⊙O 的切线.
（2）求 EFFG 的值.
【答案】（1）证明：①∵CD∥AB ，
∴∠D=∠A，
且对顶角∠CFD=∠BFA，
∴△ABF∽△DCF ；
②∵OB=CO，
∴∠OCB=∠ABC=45°，
∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，
∵CD∥AB ，
∴∠OCD=∠COB=90°，
∴CD是圆O的切线
（2）解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：
∵CD∥BO 且CD=BO，
∴四边形COBD为平行四边形，
∵∠COD=90°，CO=BO，
∴四边形COBD为正方形，
由(1)知： △ABF∽△DCF ，
∴CFBF=CDAB=12 ，
∵CE∥DB，
∴△CEF∽△BDF ，
∴CEBD=CFBF=12 ，即E为CO的中点，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，
∴∠GBD=∠EDC，
且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，
∴△BDM≌△DCE(ASA)，
∴DM=CE，即M为CD的中点，
设CM=x，则DB=CD=2x， BC=22x ，
由勾股定理知： BM=DM2+DB2=5x ，
在Rt△MBD中由等面积法知： 12BM⋅DG=12DM⋅DB ，
代入数据得到： 5x⋅DG=x⋅2x ，解得 DG=255x ，
在Rt△DGB中由勾股定理可知： BG=DB2−DG2=45x5 ，
又 △CEF∽△BDF 且其相似比为 CEBD=CFBF=12 ，
∴BF=23BC=42x3 ，
在Rt△BFG中由勾股定理可知： FG=BF2−BG2=45x15 ，
∴EF=DE−DG−FG=5x−25x5−45x15=5x3 ，
∴EFFG=5x3⋅1545x=54
【知识点】平行线的性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠D=∠A，由对顶角的性质可得∠CFD=∠BFA，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；②根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠ABC=45°，结合内角和定理可得∠COB=90°，由平行线的性质可得∠OCD=∠COB=90°，据此证明；
（2）连接DB，连接BG交CD于M点，易得四边形COBD为正方形，根据相似三角形的对应边成比例可得CFBF=CDAB=12 ，易证△CEF∽△BDF，结合相似三角形的性质可得E为CO的中点，根据圆周角定理可得∠AGB=∠BGD=90°，由同角的余角相等可得∠GBD=∠EDC，证明△BDM≌△DCE，得到DM=CE，设CM=x，则DB=CD=2x，BC=22x，利用勾股定理可得BM，根据三角形的面积公式可得DG，利用勾股定理表示出BG，根据相似三角形的性质可得BF，由EF=DE-DG-FG可得EF，据此求解.
广西梧州市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．25 的倒数是（ ）
A．52 B．−25 C．±25 D．−52
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵25×52=1 ，
∴25 的倒数是 52 .
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．在下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：选项A、圆柱的主视图为矩形，故此选项符合题意；
选项B、球的主视图为圆，故此选项不符合题意；
选项C、圆锥的主视图为三角形，故此选项不符合题意；
选项D、四面体的主视图为三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断即可得出答案.
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．−2 的绝对值是-2
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线 a∥c，b∥c ，那么直线 a∥b
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平行公理及推论；中心对称及中心对称图形；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 -2的绝对值是2，故原命题是假命题，符合题意；
B、对顶角相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，故原命题是真命题，不符合题意；
D、如果直线 a∥c，b∥c ，那么直线 a∥b ，故原命题是真命题，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此可判断A；根据对顶角的性质可判断B；根据中心对称图形的概念可判断C；根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可判断D.
4．一元二次方程 x2−3x+1=0 的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知： a=1，b=−3，c=1 ，
∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×1=5>0 ，
∴方程 x2−3x+1=0 由两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
5．不等式组 x>−1x<2 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集为： −1
【分析】根据数轴上表示不等式组解集的方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，即可一一判断得出答案.
6．如图，在 △ABC 中， AB=AC， AD 是 △ABC 的角平分线，过点D分别作 DE⊥AB， DF⊥AC ，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC=90∘ B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC， BD=CD ，
∴∠ADC=90∘ ，故A、D结论正确，不符合题意；
又AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， DF⊥AC ，
∴DE=DF ，故B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出AD=BC ，故C结论错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，BD=CD，据此判断A、D；根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断B.
7．已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A．平均数但不是中位数 B．平均数也是中位数
C．众数 D．中位数但不是平均数
【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：∵3+3+5+6+7+8+107=6 ，
∴这组数据的平均数为6，
∵这组数据从小到大排列，处在最中间的数据是6，
∴这组数据的中位数是6；
∵这组数据中3出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3.
故答案为：B.
【分析】利用数据之和除以数据的个数可得平均数，将这组数据从小到大排列，找出最中间的数据即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数，据此判断.
8．下列计算错误的是（ ）
A．a3⋅a5=a8 B．(a2b)3=a6b3 C．35+25=55 D．(a+b)2=a2+b2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 a3⋅a5=a8 ，计算正确，但不符合题意；
B、 (a2b)3=(a2)3b3=a6b3 ，计算正确，但不符合题意；
C、 35+25=55 ，计算正确，但不符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2 ，计算错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；积的乘方，先对每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；二次根式的加减法，就是合并同类二次根式，合并的时候只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，据此可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D.
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+b 与直线 y=−3x+6 相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组 y=2x+by=−3x+6 的解是（ ）
A．x=2y=0 B．x=1y=3 C．x=−1y=9 D．x=3y=1
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得直线 y=2x+b 与直线 y=−3x+6 相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组 y=2x+by=−3x+6 的解是 x=1y=3 .
故答案为：B.
【分析】根据两一次函数的交点坐标即为两解析式组成的二元一次方程组的解进行解答.
10．如图， ⊙O 是 △ABC 的外接圆，且 AB=AC，∠BAC=36° ，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接 BD，AD ，则 ∠BAD+∠ABD 的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB= 180°−36°2=72° ，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，结合内角和定理可得∠ACB的度数，然后根据∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB进行计算.
11．如图，以点O为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A'B'C'D' ﹐已知 OAOA'=13 ，若四边形 ABCD 的面积是2，则四边形 A'B'C'D' 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知： SABCDSA'B'C'D'=(OAOA')2=(13)2=19 ，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′相似，然后结合相似图形的面积比等于相似比的平方进行解答.
12．如图，已知抛物线 y=ax2+bx−2 的对称轴是 x=−1 ，直线 l∥x 轴，且交抛物线于点 P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，下列结论错误的是（ ）
A．b2>−8a
B．若实数 m≠−1 ，则 a−b
D．当 y>−2 时， x1⋅x2<0
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx−2 的对称轴是 x=−1 ，
∴−b2a=−1 ，
∴b=2a ，
∵抛物线开口向上，
∴a>0 ，
∴b2+8a=4a2+8a>0 ，
∴b2>−8a ，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时， y最小值=a−b−2 ，
∴当实数 m≠−1 ，则 a−b−2
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵y>−2 ，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴x1⋅x2<0 ，故D说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，根据图象开口向上得a>0，则b2+8a=4a2+8a>0，据此判断A；由图象得当x=-1时，函数取得最小值，ymin=a-b-2，进而判断B；当x=1时，y=a+b-2<0，结合b=2a可判断C；由图象可得直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，据此判断D.
二、填空题
13．若 x=1 ，则 3x−2= .
【答案】1
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x=1 ，
∴3x−2=3×1−2=1 .
故答案为：1.
【分析】直接将x=1代入3x-2中进行计算即可.
14．在平面直角坐标系中，请写出直线 y=2x 上的一个点的坐标 .
【答案】（0，0）（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当x=0时，y=0，
∴直线y=2x上的一个点的坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）（答案不唯一）.
【分析】令x=0，求出y的值，可得直线y=2x上的一个点的坐标.
15．一元二次方程 (x−2)(x+7)=0 的根是 .
【答案】x1=2 或 x2=−7
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可知： x−2=0 或 x+7=0 ，
∴x1=2 或 x2=−7 ，
故答案为： x1=2 或 x2=−7 .
【分析】由两个因式的积等于0，则至少有一个因式等于0，得x-2=0或x+7=0，求解即可.
16．如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90∘ ，点D，E分别是 AB，AC 边上的中点，连接 CD，DE .如果 AB=5m ， BC=3m ，那么 CD+DE 的长是 m.
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=32 ，
∵∠ACB=90∘ ，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知： DC=12AB=52 ，
∴CD+DE=32+52=4 .
故答案为：4.
【分析】由题意可得DE是△ABC的中位线，则DE= 12BC=32，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得DC= 12 AB=52，据此计算.
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 y2=mx 的图象交于点 A(−2，2)，B(n，−1) .当 y1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 y2=mx 的图象经过A（-2，2），
∴m=-2×2=-4，
∴y=−4x ，
又反比例函数 y=−4x 的图象经过B（n，-1），
∴n=4，
∴B（4，-1），
观察图象可知：当 y1
【分析】将A（-2，2）代入y2=mx中求出m的值，可得反比例函数的解析式，将y=-1代入求出n的值，可得点B的坐标，然后根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
18．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于 12OA 的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交 ⊙O 于点E，F.若 OA=1 ，则 BE ， AE，AB 所围成的阴影部分面积为 .
【答案】π12+34−12
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接EO、BO，设EF与AO交于点H，如下图所示：
由尺规作图痕迹可知，MN为线段AO的垂直平分线，
∴EA=EO，
又EO=AO，
∴△EAO为等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴EH=32EO=32 ，
∴S弓形AOE=S扇形AOE−S△AOE=60π×OA2360−12×OA×EH=16π−34 ，
∴S阴影=S扇形AOB−S△AOB−S弓形AOE=14π−12×1×1−(16π−34)=π12+34−12 ，
故答案为： π12+34−12 .
【分析】连接EO、BO，设EF与AO交于点H，由尺规作图痕迹可知：MN为线段AO的垂直平分线，则EA=EO，推出△EAO为等边三角形，得到∠EOA=60°，根据三角函数的概念可得EH，然后根据S阴影=S扇形AOB-S△AOB-(S扇形AOE-S△AOE)结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
三、解答题
19．（1）计算： 9−5+(−3)×(−2)2
（2）化简： 3a+2(a2−a)−2a⋅3a .
【答案】（1）解：原式= 3−5+(−3)×(−2)2
= 3−5+(−3)×4
= 3−5−12
= −14
（2）解：原式= 3a+2a2−2a−6a2
= a−4a2
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算开方及乘方，再计算乘法，最后根据减法法则进行计算；
（2）先根据乘法分配律去括号，同时根据单项式与单项式的乘法法则计算乘法，然后合并同类项即可.
20．解方程： 1−23−x=4x−3
【答案】解：方程两边同时乘以 (x−3) 得到： x−3+2=4 ，
解出： x=5 ，
当 x=5 时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为： x=5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x-3)将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即可.
21．如图，在 ▱ABCD 中，E，G，H，F分别是 AB， BC， CD， DA 上的点，且 BE=DH， AF=CG .求证： EF=HG .
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
AF=CG∠A=∠CAE=CH ，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AB=CD，结合BE=DH以及线段的和差关系可得AE=CH，利用SAS证明△AEF≌△CHG，据此可得结论.
22．某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图①和图②.
（1）本次抽样调查的学生人数共 人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，滑冰挑选了甲，乙，丙，丁四名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲.请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率.
【答案】（1）50
（2）解：由图可得，滑冰的人数为 50−28−5−4−3=10 人，
∴补图如下：
（3）解：由题意知，列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
由表格可知，随机抽取2名共有12种等可能的结果，其中抽中两名学生分别是甲和乙共有2种等可能的结果，
∴抽中两名学生分别是甲和乙的概率为 212=16
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由题意知，调查的总人数为 510％=50 人.
故答案为：50；
【分析】（1）利用冰球的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数可得滑冰的人数，据此可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及抽中两名学生分别是甲和乙的情况数，然后根据概率公式进行计算.
23．今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上， AB⊥CB 垂足为点B， ∠ACB=52° ， ∠ADB=60° ， CD=200m ，求AB的高度.（精确到 1m ）（参考数据： sin52°≈0.79 ﹐ cos52°≈0.62 ﹐ tan52°≈1.28 ， 3≈1.73 ）
【答案】解：设AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=52°，
∴BC= ABtan∠ACB=xtan52°≈x1.28 ，
在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴BD= ABtan∠ADB=xtan60°≈x1.73 ，
又∵CD=200m，BC=CD+BD，
∴x1.28=200+x1.73 ，
解得 x≈984 ，
答：AB的高度约为984m.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】设AB=xm，根据三角函数的概念可得BC、BD，然后根据BC=CD+BD就可求出x的值.
24．梧州市地处亚热带，盛产龙眼.新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存.已知 3kg 的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成 1kg 的龙眼干.
（1）若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格.市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出 100kg ，超出部分平均售价是5元/kg，可售完.果农们都以这种方式出售新鲜龙眼.设某果农有 akg 新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式.
【答案】（1）解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，
解出：x≥36，
故龙眼干的售价应不低于36元/kg.
（2）解： a 千克的新鲜龙眼一共可以加工成 13×(1−6%)a=47150a 千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为 47150ay 元，
当 a≤100 千克时，新鲜龙眼的总收益为 12a 元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴47150ay≥12a ，解出 y≥12×15047=180047≈38.3 元，
又龙眼干的定价取最低整数价格，
∴y=39 ，
∴龙眼干的销售总收益为 47150a×39=61150a ，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差 w=61150a−12a=11a50 元；
当 a>100 千克时，新鲜龙眼的总收益为 12×100+5(a−100)=(5a+700) 元，
龙眼干的总销售收益为 61150a 元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
w=61150a−(5a+700)=(361a50−700) 元，
故 w 与 a 的函数关系式为 w=11a50，(a≤100)361a50−700，(a>100)
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设龙眼干的售价应不低于x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，则总销售收益为12×3a=36a元，加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax元，根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益可得关于x的不等式，求解即可；
（2）a千克的新鲜龙眼一共可以加工成13(1-6%)a=47150a千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为47150ay元，当a≤100千克时，新鲜龙眼的总收益为12a元，由龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得关于y的不等式，求出y的范围，据此得最低定价，然后表示出龙眼干的销售总收益 ，再作差即可；当a>100千克时，新鲜龙眼的总收益为[12×100+5(a-100)]元，龙眼干的总销售收益为61150a元，然后作差即可.
25．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−43x−4 分别与x，y轴交于点A，B，抛物线 y=518x2+bx+c 恰好经过这两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是 (0，6) ，将 △ACO 绕着点C逆时针旋转90°得到 △ECF ，点A的对应点是点E.
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 35BP+EP 取最小值时，点P的坐标.
【答案】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时， −43x−4=0 ，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线 y=518x2+bx+c ，
得 518×(−3)2−3b+c=0c=−4 ，
∴b=−12c=−4 ，
∴抛物线解析式为 y=518x2−12x−4
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时， y=518×62−12×6−4=3 ，
∴点E在抛物线上；
②过点P作PQ⊥AB于Q，
又∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PQB，
在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，
∴△ABO∽△PBQ，
∴AOAB=PQBP ，
∴35=PQBP ，
∴PQ=35BP ，
∴35BP+EP=PQ+EP ，
∴当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时， 35BP+EP 取最小值，
∵EP⊥AB，
∴设直线EP解析式为 y=34x+m ，
又E（6，0），
∴34×6+m=0 ，
∴m=−92 ，
∴直线EP解析式为 y=34x−92 ，
当x=0时，y= −92 ，
∴点P坐标为（0， −92 ）.
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标，然后代入y=518x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①易得AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°，则E（6，3），然后代入抛物线解析式中进行验证即可；②过点P作PQ⊥AB于Q，则∠AOB=∠PQB，根据勾股定理可得AB，易证△ABO∽△PBQ，根据相似三角形的性质可得PQ=35BP，则35BP+EP=PQ+EP，故当P，E，Q三点共线，且EP⊥AB时， 35BP+EP取最小值，求出直线EP的解析式，令x=0，求出y的值，可得点P的坐标.
26．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作 CD∥AB ，且 CD=OB .连接AD，分别交 OC，BC 于点E，F，与 ⊙O 交于点G，若 ∠ABC=45∘ .
（1）求证：①△ABF∽△DCF ；
②CD是 ⊙O 的切线.
（2）求 EFFG 的值.
【答案】（1）证明：①∵CD∥AB ，
∴∠D=∠A，
且对顶角∠CFD=∠BFA，
∴△ABF∽△DCF ；
②∵OB=CO，
∴∠OCB=∠ABC=45°，
∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，
∵CD∥AB ，
∴∠OCD=∠COB=90°，
∴CD是圆O的切线
（2）解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：
∵CD∥BO 且CD=BO，
∴四边形COBD为平行四边形，
∵∠COD=90°，CO=BO，
∴四边形COBD为正方形，
由(1)知： △ABF∽△DCF ，
∴CFBF=CDAB=12 ，
∵CE∥DB，
∴△CEF∽△BDF ，
∴CEBD=CFBF=12 ，即E为CO的中点，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，
∴∠GBD=∠EDC，
且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，
∴△BDM≌△DCE(ASA)，
∴DM=CE，即M为CD的中点，
设CM=x，则DB=CD=2x， BC=22x ，
由勾股定理知： BM=DM2+DB2=5x ，
在Rt△MBD中由等面积法知： 12BM⋅DG=12DM⋅DB ，
代入数据得到： 5x⋅DG=x⋅2x ，解得 DG=255x ，
在Rt△DGB中由勾股定理可知： BG=DB2−DG2=45x5 ，
又 △CEF∽△BDF 且其相似比为 CEBD=CFBF=12 ，
∴BF=23BC=42x3 ，
在Rt△BFG中由勾股定理可知： FG=BF2−BG2=45x15 ，
∴EF=DE−DG−FG=5x−25x5−45x15=5x3 ，
∴EFFG=5x3⋅1545x=54
【知识点】平行线的性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠D=∠A，由对顶角的性质可得∠CFD=∠BFA，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；②根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠ABC=45°，结合内角和定理可得∠COB=90°，由平行线的性质可得∠OCD=∠COB=90°，据此证明；
（2）连接DB，连接BG交CD于M点，易得四边形COBD为正方形，根据相似三角形的对应边成比例可得CFBF=CDAB=12 ，易证△CEF∽△BDF，结合相似三角形的性质可得E为CO的中点，根据圆周角定理可得∠AGB=∠BGD=90°，由同角的余角相等可得∠GBD=∠EDC，证明△BDM≌△DCE，得到DM=CE，设CM=x，则DB=CD=2x，BC=22x，利用勾股定理可得BM，根据三角形的面积公式可得DG，利用勾股定理表示出BG，根据相似三角形的性质可得BF，由EF=DE-DG-FG可得EF，据此求解.
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