人教版 九年级上册 第22章 22.1二次函数图像与性质同步强化测试卷A

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人教版 九年级上册 章22章 22.1二次函数第图像与性质 同步强化测试卷A答案解析一．选择题：（30分）1.已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．【解答】解：②④是二次函数，共2个，故选：B．2.抛物线y=-(x +2)2-3的顶点坐标是(    )A.(2,- 3)       B.(- 2,3)       C. (2,3)      D.(一2,- 3)答案 D3.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线(   )A.y=(x+3)2-1                 B.y=(x+3)2+3C.y=(x-3)2-1                 D.y=(x-3)2+3答案  C4.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2【解析】解：当x＝0时，y1＝1+h，当x＝2时，y2＝1+h，当x＝3时，y3＝4+h，∵1+h＝1+h＜4+h，∴y1＝y2＜y3，故选：A．5.函数y＝x2﹣6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（　　）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3【解析】解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴向左平移m个单位后的函数解析式为y＝（x﹣3+m）2，∵函数图象经过坐标原点，∴（0﹣3+m）2＝0，解得m＝3．故选：C．6.对二次函数yx2+2x+3的性质描述正确的是（　　）A．该函数图象的对称轴在y轴左侧 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．函数图象开口朝下 D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．【解答】解：A、yx2+2x+3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；B、因yx2+2x+3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；C、a0，开口向上，故C不符合题意；D、x＝0是y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；故选：A． 7.已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（　　）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1．故选：B．　8.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x2．故选：C． 9.已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（　　）A．﹣2≤a B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a D．0≤a≤2【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得x＝a+3时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得a的取值范围．【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），∴y＝x2﹣（m+1）x+m，∴当x时取最小值，∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点，∴xa+3时取最小值，∴a+3，∴m＝2a+5，方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1，又函数过（a，b）和（a+6，b），所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3，得出m＝2a+5∵1≤m≤2，∴1≤2a+5≤2，解得﹣2≤a．故选：A．10.已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，当x＝﹣1时，y＝7，∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，解得：m＝2，∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．故选：A． 二，填空题：（24分） 11.若函数是关于x的二次函数，则a的值为　 　．【分析】根据二次函数定义可得|a2+1|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，∴|a2+1|＝2且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1． 12.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　   　．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，a=﹣1，函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，展开得y=﹣x2+4x﹣3．故答案为y=﹣x2+4x﹣3． 13.若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac　  　0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜． 14.请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式　       　．【解答】解：因为开口向上，所以a＞0∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2∵y轴的交点坐标为（0，3），∴c=3．答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．　 15.如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于      A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14【解题思路】根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．【解答过程】解：根据题意±3，解得c＝8或14．16.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为　           　．【解题思路】把抛物线y＝x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．【解答过程】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），令x＝0，则y＝3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），∴所得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]．故答案为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]．三．解答题（66分）17.（6分）已知二次函数y=2x2 -4x.(1)求它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)判断点A(-1,6)是否在此二次函数的图象上解:(1) y=2x2- 4x=2(x-1)2-2，∴抛物线的开口方向向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,- 2).(2)当x=-1时,y=2X(-1)2+4=6，点A(-1,6)在此二次函数的图象上  18.（8分）求出符合条件的二次函数解析式：（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=﹣2x2+x+3；（2）二次函数解析式为y=a（x+3）2+6，把（﹣2，10）代入得a×（﹣2+3）2+6=10，解得a=4，所以二次函数解析式为y=4（x+3）2+6；（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（0，9）代入得a×1×（﹣3）=9，解得a=﹣3，所以二次函数解析式为y=﹣3（x+1）（x﹣3）=﹣3x2+6x+9． 19.（8分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0），∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0﹣2）（0+1），解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2； （2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，则C（0，﹣2）．设OP=x，则PA=PC=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=． 20.（10分）已知抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．（1）求a的值；（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜4）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【解析】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．∴﹣2＝a（2﹣4）2+2，解得a＝﹣1；（2）∵y＝﹣（x﹣4）2+2，∴抛物线对称轴为直线x＝4，∵a＝﹣1＜0，∴当x＜4时，x随着y的增大而增大，∵m＜n＜4，∴A、B在对称左侧，∴y1＜y2． 21.（10分）如图，抛物线经过，两点，点为抛物线的顶点，连接，点为的中点请解答下列问题：
 求抛物线的解析式及顶点的坐标在轴上找一点，使的值最小，则的最小值解：抛物线经过点，，解得抛物线的解析式为．．． 
理由：，，的中点的坐标为，其关于轴的对称点的坐标为．连接与轴交于点，则最小，且最小值为 22.（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣1，0）、B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABD的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点D（1，4），设直线AB的解析式为：y＝kx+d，代入A、B两点，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，设直线AB与抛物线对称轴交于点E，则E（1，2），∴；（3）存在，理由如下：设点P（1，m），∴AC2＝12+32＝10，CP2＝12+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，AP2＝m2+4，△ACP是直角三角形需分三种情况讨论：①当∠APC＝90°时，AP2+CP2＝AC2，即m2+4+m2﹣6m+10＝10，解得：m1＝1，m2＝2，此时点P的坐标为（1，1）或（1，2）；②当∠ACP＝90°时，AC2+CP2＝AP2，即10+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：，此时点P的坐标为；③当∠PAC＝90°时，AP2+AC2＝PC2，即m2+4+10＝m2﹣6m+10，解得：，此时点P的坐标为；综上所述，满足条件的P点的坐标为（1，1）或（1，2）或或．   23．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．（1）该抛物线的对称轴为　x＝﹣1　；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故答案为：直线x＝﹣1；（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，∵抛物线顶点在x轴上，即当x＝﹣1时，y＝0，∴3a2﹣a﹣4＝0，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．