小学数学冀教版六年级上册1.圆教学设计

第5课时 圆环的面积

     教学内容

冀教版小学数学六年级上册第54～55页。

     教学提示

   圆环的教学时学生在学习了圆的面积计算的基础上进行教学的，学生已经很对圆的面积计算有了较深的认识，并能进行一欧冠的计算，因此本节课重点是指导学生理解圆环的组成，从而得出圆环的面积的计算方法，并能运用公式解决实际问题。

     教学目标

    1．结合具体事例，经历认识圆环，用不同方法计算圆环面积的过程。

    2．会用自己的方法计算圆环的面积，能解决与圆环面积有关的简单问题。

    3．进一步体会数学与生活的密切联系，获得综合应用所学知识解决实际问题的活动经验和方法。

   重点、难点

重点

掌握环形面积的计算方法并利用这一模型解决实际问题。

难点

理解环形的形成过程，形成环形的空间观念。

     教学准备

教师准备：光盘，圆环图纸，教学课件一套。

学生准备：圆规，图纸，直尺，五环标志图，彩纸，剪刀，胶水等。

     教学过程

（一）新课导入：

   1.以奥运会为话题，引出奥运会旗——五环标志。

2，展示教师制作的奥运五环图。

    提问：你知道老师是怎样制作这个五环图的吗?

    生：剪出颜色不同的五环按顺序贴在一起。

    师：像这样的一个环，在数学上我们把它叫做“圆环”。你能利用手边的工具做出一个圆环吗?   

    设计意图：从学生熟悉的奥运话题引入，使学生怀着积极乐观的情绪进入新知的学习，让学生明确探究的目标与方向。

    二、探究圆环的特征

    1。学生动手操作画圆环。

    2．展示交流。

    生1：我利用透明胶带纸沿着外圈描了一个大圆，再沿着内  圈描了一个小圈，就得到了一个圆环。

生2：在圆纸片上剪掉一个小圆，剩下的图形就是一个圆环。

    生3：我用圆规在纸上先画一个圆，接着在外面画一个更大的圆，中间阴影部分也是一个圆环。

  师：这三位同学分别用描、剪、画的方法得到了一个圆环。你对他们的制作方法有什么看法?

    设计意图：给学生提供了动手操作与交流的空间，通过不同制作方法的展示，让学生初步感知圆环的特点。

    生1：剪的方法很方便，但剪下的圆环不规则，边上弯弯曲曲的。

    生2：描的方法简便，边上也比较光滑。如果要画更大一些的圆环就又要找其他物品了，这也会很麻烦的!相比较，用圆规画圆环又方便又美观。

    师：同学们说得真好。这三种制作圆环的方法各有所长。但借助圆规画出的圆环更加科学规范。该怎样画出一个圆环呢?请闭上眼睛，在脑海中想想画的过程。

    学生闭目在脑中画图。

    设计意图：短暂地闭目思考，排除了动手操作带来的外界干扰，使学生的思维能集中指向作图的具体过程，为进一步理解圆环的特征提供了直观印象。

师：瞧一瞧，黑板上哪一幅图和你想象中的类似。

    学生齐说：D

    师：其他几个图形为什么不是圆环呢?

    生：A图中小圆在大圆的外面；图B、C中的小圆没有在大圆的中间；只有图D中的小圆在大圆的正中间，所以它才是圆环。，

    师：怎样画才能使小圆正好在大圆的正中间?

    生1：先画一个圆，然后扩大或缩小圆规两脚间的距离，圆心不变，再画一个圆就可以了。

    生2：画圆环时，大圆和小圆的圆心在同一点上就可以了。

    师：对，圆环就是由同一个圆心，大、小不同的两个圆构成的。圆环里面的小圆叫做内圆，外面的大圆叫做外圆。现在请同学们动手画一画。

    学生操作画圆，展示交流。

    设计意图：从动手操作和判断辨析两个层次建立圆环的特征，并完成归纳过程。层层感悟、体验，使学生对概念的理解更充分。

 三、探究圆环的面积

    师：同学们画得都很好。同桌间比一比，你俩谁画的圆环大?

    生1：我画的圆环要大一些。

    生2：看上去，我画的圆环小一些。

    生3：我画的圆环又大又细，他画的圆环又粗又小，不好比大小。

    通过目测，比较不出两个圆环面积的大小，该怎么办呢?

    想一想，再和同桌交流一下想法。

    设计意图：教师创设的比一比情境，让学生感受到探究圆环面积的必要性，激发了学生的学习欲望。

    生：可以用计算的方法，从大圆面积中减去中间小圆的面积，计算出圆环的面积。

    师：你是怎样想到的?

    生：刚才那位同学从圆纸片上剪掉一个同心小圆，剩下的图形就是一个圆环，说明圆环的面积就是用大圆的面积减去小圆的面积。

  师：说得真好!

  结合课件介绍：把一个圆形纸片对折再对折，两次折痕的交点就是这个圆形的圆心；再以此为圆心，用圆规画出一段弧，沿弧线剪开，展开就是一个圆环了。

    师：同一种方法制作圆环，为什么老师制作的圆环与刚才同学们做的大小不同呢?圆环的面积与什么有关?

    生1：圆环的面积与环形的宽度有关。

    生2：圆环的面积与外圆、内圆的面积有关。

    生3：因为圆的面积与半径有关，所以圆环的面积应与外圆、内圆的半径有关。

    师：计算圆环的面积必须知道哪些条件?

    生l：知道内圆和外圆的半径就可以了。

    生2：知道内、外圆的直径也可以。

    生3：知道内、外圆的周长也可以。

    师：同学们的思路真开阔。根据直径、周长与半径的关系，我们都可以间接知道内圆和外圆的半径，这样利用内圆和外圆的半径计算圆环的面积时就更加简便。请大家依据这个思路，汁算出你和同桌绘制的圆环面积，再精确比较出这两个圆环面积的大小。需要时可以借助计算器。

    设计意图：利用计算器的快速计算功能，让学生摆脱繁杂的机械计算，把节省的时间用于探索方法及总结规律上，使学生的思考更全面更深刻。

    学生测量相关数据，列式计算。

    交流算法，并板书：

    3.14×52－3.14×22    3.14×(42－22)

    3.14×4.52－3.14×2.22    3.14×(6.82－3.22)

    3.14×7.32－3.14×1.62

    师：如果用r表示内圆半径，用及表示外圆半径，观察左边的三个算式，你能用字母表示出圆环的计算公式吗?

    生：圆环的面积等于πR2－πr2。

   师：像右边这样计算圆环面积行吗?

    生l：可以。

    生2：这样算是利用了乘法分配律。

    师：那么，这时圆环的面积公式又该怎样表示呢?

    生：圆环的面积等于π(R2－r2)。

    设计意图：充分利用课堂生成的教学资源，引导学生通过观察、分析、比较，归纳出圆环面积的简便计算公式。教师的适时指导与点拨，体现了教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。

    四、实际应用

    师：通过刚才的学习，我们已经了解了圆环的特征，探讨了圆环面积的计算方法。生活中你在哪里见到过圆环?(随着学生的回答出示相应的图片)

    生1：妈妈佩戴的耳环侧面看上去就是一个圆环。

    生2：有的机器零件的表面是一个圆环。

    生3：飞镖的靶面上也有许多一圈一圈的圆环。

    生4：有的钟表表面的外圈就是圆环的形状。

生5：光盘的银色部分是一个圆环。

………

     1．出示甬路问题。(教材第54页例7)

    某公园内有半径为3米的圆形喷水池，在喷水池周围有一条1米宽的甬路。甬路的占地面积是多少平方米?

  学生独立完成，全班交流。

  (1)喷水池和甬路的占地面积：

     3.14×(1＋3)2＝3.14×16＝50．24(平方米)

  (2)喷水池的占地面积：

     3.14×32＝3.14×9＝28.26(平方米)

  (3)甬路的占地面积：

      50.24－28.26＝21.98(平方米)

                答：甬路的占地面积是21.98平方米。

  2．出示环形铸铁零件问题。(教材第54页例8)

  学生读题并观察示意图。

  怎样计算圆环的面积呢?同桌间相互讨论、交流。然后教师指名学生说算法。

    生l：我是这样算的：

        3.14×202－3.14×162

      ＝1256－803.84

      ＝452.16(平方厘米)

              答：环形的面积是452.16平方厘米。

    生2：我是这样算的：

        3.14×(202－162)

      ＝3.14×144

      ＝452.16(平方厘米)

              答：环形的面积是452.16平方厘米。

    师：同学们，你们认为他们两个的计算正确吗?

    生：正确。

    师：那么他们两个的计算方法哪个更简单呢?

    生：第二位同学的。

    师：不错。看来大家都掌握了圆环的计算方法，能把所学的知识应用到实际问题中。

    设计意图：让学生自己完成例题的解法，加强学生对圆环面积公式的掌握，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。

    五、拓展应用

    师：掌握了圆环的特点，你能制作一副老师刚开始展示的五环标志吗?请同学们以小组为单位合作制作这样一面奥运会旗，同时计算出五个圆环的总面积。比一比哪个小组完成的又好又快!

    学生分小组制作五环旗，并计算五个圆环的总面积。

    全班展示、交流、评价。

    教师强调：

    1．五个圆环的总面积＝一个圆环的面积×5

    2．五个圆环应大小相同，粘贴时注意五种颜色的顺序。

    设计意图：综合应用所学知识解决实际问题，分工合作完成奥运五环旗，让学生体验到合作的愉悦。

    （三）巩固新知：

1.  广场中央有一个圆形草坪，草坪的直径是20米，在草坪的中间有一个圆形花坛，花坛的直径是10米。

   (1)草坪的形状是什么形?

   (2)草坪的实际占地面积是多少? 

 2.  小琴的哥哥是个射击爱好者，经常到射击中心去打靶。一天，小琴也和哥哥一同去射击场。小琴仔细看了看靶子，原来箭靶是由10个同心圆组成的。已知这个靶上面相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径。最里面的小圆叫做10环，最外面的圆环叫做1环。小琴在学校里刚刚学到了《圆的面积》，她很快运用学到的知识，算出了10环面积是1环的几分之几。

    你会算吗?答案是多少?

 答案：

1.  由圆环的意义可知，草坪的形状是环形。求草坪的占地面积就是把草坪的面积去掉花坛的面积。

    (1)草坪的形状是环形(如上图)。

    (2)花坛的面积：3.14×(10÷2)2＝78.5(平方米)

    草坪的实际占地面积：  3.14×(20÷2)2－78.5＝235.5(平方米)

 2.  10环的面积是：1×1×π＝π

     1环的面积是：10×10×π-9×9×π=19π   π÷19π=  

（四）达标反馈

1．填空。

  (1)一个圆的半径是1分米，它的周长是(    )分米，面积是(    )平方分米。

  (2)有一个圆环，外圆周长是62．8厘米，内圆周长是56．52厘米，这个圆环的面积是(    )平方厘米。

  (3)一个圆环，内圆半径是外圆半径的÷，这个圆环的面积是内圆面积的(    )倍。

1.  光盘银色部分是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米，它的面积是多少?

3.  一个环形铁片，内圆半径是6 cm，圆环宽是4cm，求这个环形铁片的面积是多少? 

4.  一个玻璃水杯的底面直径是6厘米，高是20厘米。请你设计一个长方体包装箱，要求每箱装24个玻璃水杯。

5.  一种麻辣酱包装罐的底面周长是15.7厘米，高8厘米。这种麻辣酱的包装箱长25厘米，宽20厘米，高18厘米。一箱麻辣酱有多少罐?  

答案：

1．(1)6.28   3.14  （2)59.66  (3)8

2.  已知内圆半径和外圆半径，根据圆环面积的计算方法直接计算就可求出。

     3.14×62－3.14×22

    ＝3.14×36－3.14×4  

    ＝113.04－12.56 

    ＝100.48(平方厘米) 

或   3.14×(62－22)  

   ＝3.14×(36—4)

       ＝3.14×32

       ＝100.48(平方厘米)

       答：银色圆环部分的面积是100.48平方厘米。

3.  3.14×(6＋4)2－3.14×62

      ＝3.14×102－3.14×62    

      ＝314－113.04 

      ＝200.96(平方厘米) 

                 答：这个铁片的面积为200.96平方厘米。

4.  把24改写成三个数连乘的形式，能写出几个连乘算式，就有几种摆放方式，通过比较，其中既安全又便于搬运的有这样两种：

每排8个，摆3排。包装箱的长：6×8＝48(厘米)  宽：6×3＝18(厘米)  

    每排6个，摆4排。包装箱的长：6×6＝36(厘米)  宽：6×4＝24(厘米)    

所以较好的设计有两种： 

    第1种：长48厘米，宽18厘米，高20厘米   

        第2种：长36厘米，宽24厘米，高20厘米 

5.  15.7÷3.14＝5(厘米)

    25÷5＝5(罐)  20÷5＝4(排) 

（五）课堂小结

 六、全课总结

    师：奥林匹克旗帜五个圆环连接在一起象征五大洲的团结，象征全世界的运动员以公正、公平的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上友好相见，欢聚一堂。今天，课堂上每个小组的同学也像这环环相扣的五环，团结协作完成了一幅幅精美的五环作品，相信同学们也会如奥运精神“更快、更高、更强”在学习上获得更大的进步!

    设计意图：分组合作完成奥运五环旗，既是对本节课知识的进一步理解，又巧妙地渗透了爱国主义、合作学习的教育。

（六）布置作业

1．计算下面各图阴影部分的面积。

2．在O处有一个发电厂，由于发电厂的噪音比较大，因此决定在以O处为圆心，以60米为半径的外围种植绿化带，如图，绿化带的面积是多少平方米?若绿化带的建造面积为每平方米500元，则共需资金多少元?

3.如下图，一个圆形鱼池，它的内直径为40m，中间圆形假山的直径为4m，则鱼池水面面积是多少?

4.某种饮料瓶的底面是圆形，周长是21．98厘米，将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个纸箱的长、宽至少各是多少厘米?

6．幸福村在街心广场修建一个圆形花坛，周长是31．4米，在花坛四周又修了一条宽1米的小路，这条小路的面积是多少平方米?

7．三个同心圆的半径比为1：2：3(如下图)，则阴影部分的面积和空白部分的面积之比是多少?

答案：

1．(1)251.2  (2)18.84  (3)20

2．3.14×[(60＋5)2－602]＝1962.5(平方米)

  500×1962.5＝981250(元)

3．3.14×[(40÷2)2－(4÷2)2]＝1243.44(平方米)

4．21.98÷3.14＝7(厘米)

  长：7×6＝42(厘米)

  宽：7×4＝28(厘米)

6．31.4÷3.14÷2＝5(米)  5＋1＝6(米)

  3.14×(62－52)＝34.54(平方米)

7．1：2

     板书设计

     教学资料包

（一） 教学精彩片段

设计意图：  

　一、创设情景，生成问题 
激趣导入：1、 这幅图，你知道了什么？ 
2、 中国第一次参加奥运会… 
    上一届奥运会中获得金牌总数世界第三位。 
3、 这次成功申奥，是全国人民的光荣，我们要热爱祖国、热爱运动，积极参加体育锻炼。 
                      一大一小的同心圆 
                         环形的特点        
   设计意图：从学生应该掌握的常识，和身边发生过的事情入手，让学生体会到数学就在生活中就在我们身边，同时渗透学生热爱祖国和热爱运动的思想。 
二、探索交流，解决问题。 
（一）画、剪、制环形： 
1 、师：请同学们在硬纸板上画个半径为10厘米和5厘米的同心圆。 
生：按照要求画同心圆。 
2、师：请同学们先剪下所画的大圆再剪下所画的小圆    
 问：剩下的部分是什么图形？ 
生：环形。 
师：（拿着学生剪的环形） 
提问：“这个环形是怎样得到的？” 
生：从外圆中去掉一个内圆。 
师：在日常生活中你见过环形或截面是环形的物体吗？请举几例． 
（屏幕显示生活中有环形的物体，并闪动环形让学生观察．） 
设计意图：这过程以学生“画——剪——制”的亲身实践贯穿始终，同时在这一过程中渗透一些学法、如动手操作、合作交流，观察、分析等学习方法，使学生在学习中运用，在运用中掌握，学生通过自己动手操作，把环形从一般图形中分离出来，使学生很快抓住了环形的本质特征，形成环形的概念，发展学生的空间观念。 
（二）探索环形面积的计算方法． 
小组讨论：根据你们对环形的理解，你认为应如何计算环形的面积？ 
汇报交流：这个环形的面积实际就是=外圆面积-内圆面积 
师：那求圆的面积时题中给出的已知条件有几种情况？怎样求出圆面积？ 
     已知半径求面积      S=πr2 
     已知直径求面积      S=π（ ）2 
     已知周长求面积      S=π（ ）2 
设计意图：因为学生有了亲身实践的体验，在小组的合作下总结环形面积的计算方法水到渠成。 
 

（二） 数学资源

  1．下图阴影部分是个环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，求它的面积。

    分析：本题可用两种方法解答。求圆环的面积，实际上就是求两个半径不同的圆的面积之差，可用外圆的面积减去内圆的面积。

    答案：方法一：

    3.14×152－3.14×102＝706.5－314＝392.5(平方厘米)

    方法二：3.14×(152－102)＝3.14×125＝392.5(平方厘米)

    答：圆环的面积是392．5平方厘米。

    点拨：计算环形面积的关键在于正确利用环形面积计算公式。

    2．一个高压锅垫圈的内直径是24厘米，垫圈宽1．5厘米，这个垫圈的面积是多少平方厘米?

    分析：垫圈的面积就是一个环形面积，圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，而要求这两个圆的面积，其大圆半径和小圆半径是关键。内直径也就是小圆的直径，这样就能求出小圆的半径，大圆的半径是小圆半径与垫圈宽的和。

    答案：小圆的半径：24÷2＝12(厘米)

    小圆的面积；3.14×122＝452.16(平方厘米)

    大圆的半径：12＋1.5＝13.5(厘米)

    大圆的圆积：3.14×13.52＝572.265(平方厘米)

    垫圈的面积：572.265－452.16＝120.105(平方厘米)

    答：这个垫圈的面积是120.105平方厘米。

    点拨：求图形的面积，要先确定图形的形状，根据相应的公式计算面积。

  3. 求阴影部分的面积。

  分析：仔细看图，其实是求圆环面积的一半，只要求出内圆的半径5－1＝4(米)，就可以根据S＝π(R2－r2)求出阴影部分面积的一半。

    解答：5－1＝4(米)

       3.14×(52－42)

    ＝3.14×9

    ＝28.26(平方米)

       28.26÷2＝14.13(平方米)

             答：阴影部分的面积是14.13平方米。

    技巧与方法：对于较复杂的组合图形求面积，要正确分析图形的组合特点。比如上图中阴影部分的面积正好是圆环面积的一半。

 三、资料链接

                                     奥运五环常识

    奥林匹克标志最早是根据1913年顾拜旦的提议设计的，起初国际奥委会采用蓝、黄、黑、绿、红色作为五环的颜色，是因为它能代表当时国际奥委会成员国国旗的颜色。1914年在巴黎召开的庆祝奥运会复兴20周年的奥林匹克大会上，顾拜旦先生解释了他对标志的设计思想：“五环——蓝、黄、绿、红和黑环，象征世界上承认奥林匹克运动，并准备参加奥林匹克竞赛的五大洲，第六种颜色白色——旗帜的底色，意指所有国家都毫无例外地

能在自己的旗帜下参加比赛。”因此，作为奥运会象征、相互环扣一起的5个圆环，便体现了顾拜旦提出的可以吸收殖民地民族参加奥运会，为各民族间的和平事业服务的思想。

    体会奥赛

    在一个长8米、宽5米的长方形花池中，建了一个最大的圆形花池，圆池内种牡丹花，圆池外种茉莉花，各占地多少平方米?

    思路分析：在长方形中，最大的一个圆的直径等于长方形的宽。根据题意，可先求出圆形花池的半径，再求花池的面积。用长，方形的面积减去圆形花池的面积，就是茉莉花占地面积。

    解答： 牡丹花占地面积：3.14×(5÷2)2＝19.625(平方米)

           茉莉花占地面积：8×5－19.625＝20.375(平方米)

    归纳总结：在长方形中最大的圆的直径等于长方形的宽。