湘教版八年级上册第3章 实数综合与测试单元测试精练

湘教版初中数学八年级上册第三章《实数》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列式子没有意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的个数为(    )
   平方根与它本身相等的数是和；
   倒数等于它本身的数只有；
   绝对值是它本身的数是非负数；
   一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；
   一对相反数的平方根也互为相反数

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 下列说法中，其中不正确的有(    )
   任何数都有算术平方根；一个数的算术平方根一定是正数；
   的算术平方根是；算术平方根不可能是负数．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 一个自然数的算术平方根为，则与它相邻的下一个自然数的平方根是 (    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法中：不带根号的数都是有理数；没有立方根；平方根等于本身的数是；有意义的条件是为正数；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 下列说法正确的有(    )

同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；若则；任何一个数都有平方根和立方根

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 把一个半径和高都是分米的圆柱体沿底面半径平均分成若干等份，切开拼成一个近似的长方体，表面积增加了平方分米。(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如果，那么(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在，，，．，，每两个之间，逐次多一个中，无理数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列数中与最接近的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 判断之值介于下列哪两个整数之间？(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

12. 下列说法：
    实数和数轴上的点是一一对应的；
    无理数是开方开不尽的数；
    负数没有立方根；
    的平方根是，用式子表示是；
    某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是，
    其中错误的是          ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若有平方根，则实数的取值范围是______．
14. 若，为实数，且满足，则的立方根为__________．
15. 如果的算术平方根是，的立方根是，那么___．
16. 若的整数部分是，小数部分是，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 小聪准备了四根木棍、、、木棍均足够长，摆放位置如图所示，，点、分别在、上，木棍从开始绕点顺时针旋转至便立即往回旋转，木棍从开始绕点顺时针旋转至便立即往回旋转，两根木棍不断来回旋转．若木棍转动的速度是秒，木棍转动的速度是秒，且，满足，与相交于点．
    当转动，转动时，______；
    若木棍先转动秒，木棍才开始转动，木棍到达之前木棍转动角度小于，木棍转动几秒时，两根木棍互相平行？
    如图，，两根木棍同时开始转动，在木棍到达之前即木棍转动角度小于，若两根木棍交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

18. 如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点，满足．
    则点的坐标为______，点的坐标为______；
    直角三角形的面积为______；
    已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒，问：是否存在这样的使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
     

19. 已知是的算术平方根，是的立方根，试求：

和的值；

的值．

20. 已知的两个平方根分别是和，且，求的值．
21. 解方程：
    ；
    ．
22. 如果一个正数的两个平方根分别是和，求：
    和这个正数的值；
    的立方根．
23. 已知在纸面上有一数轴如图所示．

折叠纸面，使表示的点与重合，则表示的点与_______表示的点重合；

折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，回答以下问题：

表示的点与数_______表示的点重合；

若数轴上、两点之间距离为在的左侧，且、两点经折叠后重合，此时点表示的数是_______、点表示的数是_______；

已知在数轴上点表示的数是，点移动个单位，此时点表示的数和是互为相反数，求的值．

24. 已知，为实数，且满足关系式：
    求：，的值；
       的平方根．
25. ，两点在数轴上的位置如图所示，其中为原点，点对应的有理数为，点对应的有理数为．
    
    动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．
    当时，的长为______，点表示的有理数为______；
    当时，求的值；
    如果动点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点和分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对算术平方根定义的应用，能理解正数有两个平方根，负数没有平方根是解此题的关键．
根据正数有一个算术平方根，负数没有算术平方根逐个判断即可．
【解答】
解：正数有一个算术平方根，负数没有算术平方根，
选项B是没有意义的，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了有理数的乘方以及相反数，绝对值，正确把握相关定义是解题关键根据有理数的乘方法则，相反数、倒数的定义对四个选项进行逐一解答即可．
【解答】
解：平方根与它本身相等的数是和；错误，的平方根是，不是本身； 
倒数等于它本身的数只有；错误，还有；
绝对值是它本身的数是非负数；正确；
一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；错误，负数的平方是正数，立方是负数； 
一对相反数的平方根也互为相反数；错误，负数没有平方根．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了算术平方根的理解，如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即的平方根是，的算术平方根也是，解答此题根据算术平方根的定义进行判断即可．
【解答】
解：负数没有算术平方根，故错误；
的算术平方根是，故错误；
当时，的算术平方根是，故错误；
算术平方根不可能是负数，故正确．
所以不正确的有，共个．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了求一个数的算术平方根，平方根，比较简单根据算术平方根的定义得这个自然数为，则与这个自然数相邻的后续自然数，由此即可得到其平方根．
【解答】
解：一个自然数的算术平方根是，
这个自然数为，
与这个自然数相邻的后续自然数，
其平方根为．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查算术平方根的概念，平方根的概念和立方根的概念，掌握算术平方根中的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的概念、平方根的概念和立方根的概念判断即可．

【解答】

解：不带根号的数不一定都是有理数，例如，错误；
的立方根是，错误；
平方根等于本身的数是，错误；

有意义的条件是为非负数，错误，
故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是三线八角中的同位角，平行公理，直线的交点及及平行线的性质，实数中的平方根和立方根的概念；主要是对概念和定义的考查，熟练掌握定义和概念是解题的关键．

【解答】

解：同位角不一定是两平行直线被截得到，
同位角相等错误，故错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；

、若，，则，故正确．
、的立方根是；但没有平方根故故正确．
综上所述，说法正确的共个．

故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是简单立体图形的切拼，明确切开后拼成一个近似的长方体的表面积增加了个以圆柱的底面半径为宽，高为长的长方形的面积，是解答此题的关键．根据切开后拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了个长方形，长方形的宽是圆柱的底面半径，长是圆柱的高，长方形的面积长宽，由此解答即可．

【解答】

解：平方分米
答：这个长方体的表面积比圆柱体增加了平方分米．
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平方根和立方根的概念首先根据平方根的概念把求出，然后求出的立方根即可．
【解答】
解：，
，
当时，
，
  当时，
，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：，，每两个之间，逐次多一个是无理数，
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
估算确定出结果即可．
【解答】
解：，，
，即，
，
的值更靠近，
则与最接近的是，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是估算无理数的大小熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键根据，估算出在哪两个整数之间，再根据不等式的基本性质即可得出结论．

【解答】

解：，

，

，

．

故答案为．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了实数，相反数，绝对值，平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，利用实数的分类，无理数定义，立方根及平方根定义判断即可．
【解答】
解：实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
无理数不一定是开方开不尽的数，例如，错误；
负数有立方根，错误；
的平方根是，用式子表示是，错误；
某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是，正确，
则其中错误的是个．
故选C．  

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据非负数有平方根列式求解即可．
本题考查了平方根的意义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了偶次方和绝对值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出、的值．根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．
【解答】
解：因为，
所以，，
解得，，
故，
所以的立方根为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是立方根、平方根的定义，依据立方根和平方根的定义求得、的值是解题的关键．
依据算术平方根和立方根的定义求得、的值，然后代入求解即可．
【解答】
解：，的算术平方根是，
．
的立方根是，
．
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：
，

故答案为．
因为，所以，，代入中即可计算结果．
本题考查的是无理数的估算，运用逼近法确定无理数处于两个连续整数之间是解决类似本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
设木棍转动秒时，两根木棍互相平行，
，
，，
，，
如图，连接，
，
，
当由向旋转过程中，，
则，
，
即，
；
如图，当木棍从开始绕点顺时针旋转至便立即往回旋转时，，
则，
，
即，
，
综上所述，木棍转动秒或秒时，两根木棍互相平行；
不变，
设转动时间为秒，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
故在转动过程中，与的数量关系不发生变化．
如图，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
设木棍转动秒时，两根木棍互相平行，根据非负数的性质得到，，如图，连接，当由向旋转过程中，，如图，当木棍从开始绕点顺时针旋转至便立即往回旋转时，，根据平行线的性质即可得到结论；
设转动时间为秒，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，非负数的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：，；
；
存在，理由如下：
如图，过作于，作于，

由知，，点到达点时间：， 
，此时点到达点，
的坐标是，
，，
由题意得：，，
，
，
． 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形的性质、非负数的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
根据绝对值和算术平方根的非负性，求得，的值即可；
根据三角形面积公式进行解答即可；
根据，列式可得的值．
【解答】
解：，
，，
解得，，
，；
故答案为：，；
，
故答案为；
见答案．  

19.【答案】解：是的算术平方根，
，
解得：，
是的立方根，
，即，
解得：；

由知：，，

，，
，
的值的是．

【解析】本题考查了立方根、算术平方根的定义，属于基础题，求出、的值是解答本题的关键．
根据算术平方根及立方根的定义，求出、的值；

由、的值求出、的值，代入可得出的值．

20.【答案】解：没有同时满足与同时为，所以不为；
当为正数时，因为的两个平方根分别是和，
所以，
解得，
所以．
因为，
所以，
所以
所以

． 

【解析】根据正数的两个平方根互为相反数，的平方根是，先计算出的值，再求出，根据立方根的定义，求出，最后得到的值．
本题考查了平方根、立方根．解决本题的关键是根据一个正数的两个平方根互为相反数，确定的值．
 

21.【答案】解：，
，
．
．
，
，
，
或． 

【解析】先求得的值，然后再利用立方根的性质进行解答即可；
先求得的值，然后再利用平方根的性质进行解答即可．
本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握立方根和平方根的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意知，
解得：，
则，
所以；

，
的立方根为 

【解析】根据平方根的性质可得的值，代入即可得的值；
根据立方根的定义求解可得．
本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质．
 

23.【答案】解：；
；，；
往左移个单位：，
解得：．
往右移个单位：，
解得：．
答：的值为或． 

【解析】

【分析】
本题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的关键．
求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
求出表示的点与表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
分两种情况进行解答，向左移动个单位，向右移动个单位，列方程求解即可．
【解答】
解：折叠纸面，使表示的点与重合，折叠点对应的数为，
设表示的点所对应点表示的数为，于是有，解得，
故答案为；
折叠纸面，使表示的点与重合，折叠点对应的数为，
设表示的点所对应点表示的数为，于是有，解得；
设点所表示的数为，点表示的数为，
由题意得：，
解得：，，
故答案为；，；
见答案．  

24.【答案】解：，为实数，且满足关系式：
，解得；

，，
原式

．
，
的平方根是． 

【解析】先根据非负数的性质列出关于的方程组，求出、的值即可；
把的值代入代数式进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知非负数的性质及实数的运算法则是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：，；
当点在左侧时，
，，
，
．
当点在点右侧时，，
；
设一点时间为秒；
当在、之间时，，，
，
，
解得．
当点在点右侧时，，，
，
，
解得，
故经过秒或秒时，． 

【解析】

【分析】
本题考查实数与数轴、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，运用了分类讨论思想．
根据路程速度时间，以及线段的和差定义计算即可；
分两种情形分别求解即可；
分两种情形分别构建方程即可解决问题；
【解答】
解：动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，
当时，，
，
，
点表示的有理数为．
故答案为，；
见答案；
见答案．