初中湘教版第5章 二次根式综合与测试单元测试复习练习题

湘教版初中数学八年级上册第五章《二次根式》单元测试卷

考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知当时，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设，，为非零实数，则所有可能的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

4. 已知、为实数，且则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列各式一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 把根号外的因式移入根号内得(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列各根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论：
    正方形的面积等于的一半；
    正方形的面积等于的一半；
    ：：．
    上述结论中，所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若是整数，则最小正整数的值为          
14. 仔细观察下列式子：，，，，则第个同类型的式子为______．
15. 已知，则的取值范围是_________．
16. 观察下列等式：
    ，
    ，
    ，
    
    请你根据以上规律，写出第个等式______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知是的小数部分，求的值．
18. 本小题分
    已知实数，，满足：，的平方根等于它本身，求的值．
19. 本小题分
    不用计算器，比较与的大小，并说明理由．
20. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
21. 本小题分
    阅读下列运算过程：
    ，
    
    数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”模仿上述运算过程，完成下列各题：
    
    ．
22. 本小题分
    已知．
    化简；
    若，求的值．
23. 本小题分
    计算
    ；
    ．
24. 本小题分
    如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在图中画出，其顶点，，都是格点，同时构造矩形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了的面积．
    在图中，所画出的的三边长分别是______，______，______，的面积为______；
    若中有两边的长分别为，，且的面积为，试在图的正方形网格每个小正方形的边长为中画出所有符合题意的全等的三角形视为同一种情况，并直接写出它的第三条边长．
     

25. 本小题分
    我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形，三边分别为，，，过点作于，为，的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出，再求出高，从而求出三角形的面积．请你用这一方法，解决下列问题：
    已知，，，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
，
．
，即．
故选：．
先化简二次根式，然后由不等式的性质来解答．
考查了二次根式的性质与化简，不等式的性质，注意：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，．
，．
．
．
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
本题主要考查二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当，时，原式，
当，时，原式，
当，时，原式，
当，时，原式，
综上所述，原式所有可能的值为或，
故选：．
分，；，；，；，四种情况，根据绝对值的性质、二次根式的性质计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的非负性，根据二次根式的被开方数是非负数求得，则，代入求值即可．
【解答】
解：由题意，得，
解得．
所以，
所以．  

5.【答案】 

【解析】解：，




．
故选：．
直接利用完全平方公式结合的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】略
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的乘除，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于，含分母的分母不为根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答 
【解答】
解：成立，
，即，
原式．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数或因式 
逐一判断，即可解答．
【解答】
解：，是最简二次根式； 
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
故选A  

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
先分别根据二次根式的加法法则和二次根式的乘法法则求出和的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．和不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.


，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减法则即可判断选项A和选项D，根据二次根式的乘法法则即可判断选项B，根据二次根式的除法法则即可判断选项C．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
正方形网格的面积为：，
，
故结论错误；
，
正方形网格的面积为：，
，
故结论正确；
由得：，则，
由得：，则，
，
正方形，的面积相等，
，
故结论正确．
故选：．
分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
结合进行求解即可．
本题主要考查二次根式的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积．
 

12.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.


，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的减法法则即可判断选项A；根据平方差公式和二次根式的性质即可判断选项B；先分母有理化，再根据求出的结果即可判断选项C；根据二次根式的性质进行判断选项D．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的定义，
根据二次根式是一个整数，可得被开方数能化成平方的形式，可得答案．
【解答】
解：，
又是一个整数，
最小的正整数是．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，，，，
第个式子为：，
第个式子为：．
故答案为：．
根据所给的式子进行解答即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，

则的取值范围是
故答案为：．
根据已知得出，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当时，．
 

16.【答案】 

【解析】解：写出第个等式为．
故答案为．
第个等式左边的第个数为，根号下的数为，利用完全平方公式得到第个等式右边的式子为的整数．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

17.【答案】解：由是的小数部分，得．


． 

【解析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据二次根式的分母有理化，可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质，分母有理化．
 

18.【答案】解：由题意得，且，
解得且，
所以，，
，
的平方根等于它本身，
，
． 

【解析】根据被开方数大于等于列式求出的值，再求出的值，根据平方根的定义求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，平方根和算术平方根的定义．
 

19.【答案】解：，
而，
． 

【解析】将分母有理化，然后将结果与比较大小，则可得结论．
本题考查了分母有理化在实数大小比较中的应用，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：



．
当，时，
原式． 

【解析】先把分式通分进行加减运算，再把字母的取值代入即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

21.【答案】解：原式；
原式

--
． 

【解析】根据二次根式的乘法，可分母有理化；
根据二次根式的乘法，平方差公式，可得答案．
本题考查了分母有理化，利用了二次根式的乘法，平方差公式．
 

22.【答案】解：


；
，
，
当时，
． 

【解析】根据分式的减法和乘法可以化简；
根据，可以得到，然后代入中化简后的，即可求得的值．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．
 

23.【答案】解：

；



． 

【解析】先根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质和绝对值进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

24.【答案】     

【解析】解：，，，
，
故答案为：，，，；
如图中，即为所求．第三边的长，

利用勾股定理三角形的面积公式求解；
利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，二次根式的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】解：设的长为，则的长为，
，
，
，，
，
，，
，
解得，
，，
，
解得，
，
即的面积是． 

【解析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出的长，再求出的长，即可计算出的面积．
本题考查勾股定理、数学常识、二次根式的应用，解答本题的关键是求出和的长．