2021学年第21章 二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程第2课时教案

21.3二次函数与一元二次方程

第2课时二次函数与一元二次不等式

教学目标

【知识与能力】

1．通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系；

2．会用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集。

【过程与方法】

经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系。

【情感态度价值观】

进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神。

教学重难点

【教学重点】

二次函数与一元二次不等式之间的联系。

【教学难点】  

用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集。

课前准备

课件等。

教学过程

一、情境导入

如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集吗？请你直接写出来．

二、合作探究

探究点一：二次函数与一元二次不等式的关系

【类型一】利用抛物线解一元二次不等式

例1  抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　)

A．x＜2  B．x＞－3

C．－3＜x＜1  D．x＜－3或x＞1

解析：观察图象，可知当x<－3或x>1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x<－3或x>1.故选D.

方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集，所以利用二次函数的图象，可以直观地求得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集．

【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围

例2  二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数值y在x轴下方时，x的取值范围是(　　)

A．x＜－1  B．x＞3

C．－1＜x＜3  D．x＜－1或x＞3

解析：由二次函数图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方．故选C.

方法总结：利用数形结合思想来求解．当y＝0时，对应x的值为x1＝－1，x2＝3，当y＞0时，看抛物线在x轴上方的部分，x的取值范围是x＜－1或x＞3；当y＜0时，看抛物线在x轴下方的部分，x的取值范围是－1＜x＜3.

例3 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)．

(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式；

(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．

解析：用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式，即可求出b，c的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的另一个交点坐标，由图象法求得函数值y为正数时，自变量x的取值范围．

解：(1)由题意得

解得

故所求关系式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)．

∴由图象可知函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.

探究点二：抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置与b2－4ac的关系

例4  求证：无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点．

解析：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，于是问题就转化成证明Δ>0的问题．

证明：由题意知Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4.∵无论a取什么实数，(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4>0，即Δ>0.∴无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点．

三、板书设计

教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学会利用图象的直观性和性质来解决问题，体会数形结合思想．