九年级上册21.4 二次函数的应用第1课时教学设计

21.4二次函数的应用

第1课时二次函数在面积最值问题中的应用

教学目标

1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；

2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值。

教学重难点

【教学重点】

利用二次函数求实际问题的最值。

【教学难点】  

对实际问题中数量关系的分析。

课前准备

课件等。

教学过程

一、情境导入

孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．

二、合作探究

探究点：利用二次函数求最大面积

【类型一】利用二次函数求最大面积

例1  小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．

(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？

解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x，则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．

解：(1)根据题意，得S＝·x＝

－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30；

(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，因为a＝－1＜0，所以S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值是225(平方米)．

方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．

【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件

例2  用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？

(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．

解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；

(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，

解得x1＝10，x2＝6.

所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；

(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．

方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．

方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．

【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件

例3 现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．

(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？

解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．

解：(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30；

(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，当x＝15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.

【类型四】最大面积方案设计

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)．

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

(2)求出这条抛物线的函数关系式；

(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

解：(1)M(12，0)，P(6，6)；

(2)设这条抛物线的函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，因为抛物线过O(0，0)，

所以a(0－6)2＋6＝0，解得a＝－，

所以这条抛物线的函数关系式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x；

(3)设OB＝m，

则点A的坐标为(m，－m2＋2m)，

所以AB＝DC＝－m2＋2m.

根据抛物线的轴对称，可得OB＝CM＝m，

所以BC＝12－2m，即AD＝12－2m，

所以l＝AB＋AD＋DC

＝－m2＋2m＋12－2m－m2＋2m

＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.

所以当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米．

三、板书设计

教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．