【最新版】高中数学高三培优小题练阶段滚动检测(六)

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练阶段滚动检测(六)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分)
1．已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|eq \r(x)0)的离心率为2，则双曲线M的渐近线方程是( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±3x D．y＝±eq \r(2)x
答案 A
解析 因为双曲线的离心率为2，所以eq \f(a＋a＋8,a)＝4，解得a＝4，所以双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，由eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝0，得y＝±eq \r(3)x，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
12．(2022·德州模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝lg2(x＋1)，下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在定义域上是周期为2的函数
B．直线y＝x与函数f(x)的图象有2个交点
C．函数f(x)的值域为[－1,1]
D．f(2 020)＋f(－2 021)＝0
答案 D
解析 当x≥0时，f(x＋1)＝－f(x)，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))＝－lg2eq \f(6,5)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))＝－lg2eq \f(9,5)，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))≠f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)＋2))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))，
则函数y＝f(x)不是R上周期为2的函数，A选项错误；
若x为奇数，f(x)＝f(1)＝0；
若x为偶数，则f(x)＝f(0)＝0，
即当x∈Z时，f(x)＝0，
当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，若n∈N，且当x∈(2n,2n＋1)时，x－2n∈(0,1)，f(x)＝f(x－2n)∈(0,1)，
当x∈(1,2)时，则x－1∈(0,1)，
所以f(x)＝－f(x－1)∈(－1,0)，
当x∈(2n＋1,2n＋2)时，x－2n∈(1,2)，
则f(x)＝f(x－2n)∈(－1,0)，
所以函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的值域为(－1,1)，
由奇函数的性质可知，函数y＝f(x)在(－∞，0)上的值域为(－1,1)，
由此可知，函数y＝f(x)在R上的值域为(－1,1)，C选项错误；
如图所示，
由图象可知，当－10，
∴1－2sin B＝0，sin B＝eq \f(1,2)，
∵00)的离心率为e＝eq \f(\r(3),2)，且过点(2，eq \r(3))．
(1)求椭圆C′的方程；
(2)如图，过椭圆C′的左半个椭圆上(含短轴顶点)上一点P作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，分别交椭圆于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的取值范围．
解 (1)由题意可得e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2)，即eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，
又eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1，解得a＝4，b＝2，
所以椭圆C′的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)设P(m，n)(－4≤m≤0)，
则eq \f(m2,16)＋eq \f(n2,4)＝1，即n2＝4－eq \f(m2,4)，
设过P的切线方程为y＝kx＋n－km，圆C：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，
由直线和圆相切的条件可得eq \f(|2k＋n－km|,\r(1＋k2))＝1，
化为(m2－4m＋3)k2＋2kn(2－m)＋n2－1＝0，
由k1，k2为上面方程的两根，可得k1k2＝eq \f(n2－1,m2－4m＋3)＝eq \f(3－\f(m2,4),m2－4m＋3)
＝－eq \f(1,4)－eq \f(1,4)·eq \f(4m－15,m2－4m＋3)(－4≤m≤0)，
令4m－15＝t(－31≤t≤－15)，
则m＝eq \f(t＋15,4)，
则k1k2＝－eq \f(1,4)－eq \f(1,4)·eq \f(t,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t＋15,4)))2－t－15＋3)＝－eq \f(1,4)－eq \f(4,t＋\f(33,t)＋14)在－31≤t≤－15上单调递增，
所以k1k2的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,35)，1)).
22．(12分)已知函数f(x)＝xex－1－ax＋1，其中a∈R.
(1)当a＝0时，证明：f(x)>0；
(2)当a>0时，讨论f(x)的零点个数．
(1)证明 当a＝0时，f(x)＝xex－1＋1，
f′(x)＝(x＋1)ex－1.
∴当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．
∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值，也为最小值，
∴f(x)min＝f(－1)＝1－eq \f(1,e2)>0.
∴当a＝0时，f(x)>0.
(2)解 由(1)可得xex－1＋1>0.
∴当a>0时，∀x∈(－∞，0]时，f(x)>0，即函数f(x)在x∈(－∞，0]时，f(x)无零点，故只需要研究函数f(x)在(0，＋∞)上零点的情况．
由xex－1－ax＋1＝0，变形为a＝ex－1＋eq \f(1,x)(x>0)．
令g(x)＝ex－1＋eq \f(1,x)(x>0)，
则g′(x)＝ex－1－eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上单调递增，且g′(1)＝0，
∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增．
∴g(x)min＝g(1)＝2，当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
当0