【最新版】高中数学高三培优小题练第86练　随机事件的概率与古典概型

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第86练　随机事件的概率与古典概型，共5页。试卷主要包含了下列四个命题中正确的是，下列事件是必然事件的是，下列叙述错误的是等内容，欢迎下载使用。

考点一 随机事件的频率与概率
1．下列四个命题中正确的是( )
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是eq \f(51,100)
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是eq \f(9,50)
答案 D
解析 对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；
对于B，抛硬币出现正面的概率是eq \f(1,2)，而不是eq \f(51,100)，故B错误；
对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；
对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确．
2．下列事件是必然事件的是( )
A．从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B．函数y＝lgax(a>0且a≠1)为增函数
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．随机选取一个实数x，得2x<0
答案 C
解析 A是随机事件，5张标签都可能被取到；B是随机事件，当a>1时，函数y＝lgax为增函数，当00.
考点二 互斥事件与对立事件
3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件．那么甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件．
4．下列叙述错误的是( )
A．若事件发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1
B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．两个对立事件的概率之和为1
D．对于任意两个事件A和B，都有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
答案 D
解析 若A，B两事件有交事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．
5．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A．“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”
B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
答案 A
解析 A选项中，“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”不同时发生，故互斥，“恰好有两个白球”的对立事件是“至少有一个黑球”，故不对立，所以互斥不对立．
考点三 古典概型
6．(2022·杭州模拟)已知某人射击每次击中目标的概率都是0.4，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0,1,2,3表示击中目标，4,5,6,7,8,9表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
162 966 151 525 271 932 592 408 569 683 471 257 333 027 554 488 730 163 537 039
据此估计，其中3次射击至少2次击中目标的概率约为( )
A．0.45 B．0.55 C．0.65 D．0.75
答案 A
解析 基本事件的总数为20，其中3次射击至少2次击中的基本事件有162,151,271,932,333,027,730,163,039，共9种，所以3次射击至少2次击中目标的概率约为P＝eq \f(9,20)＝0.45.
7．(2022·昆明质检)奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为( )
A.eq \f(3,14) B.eq \f(5,14) C.eq \f(3,7) D.eq \f(1,7)
答案 A
解析 从8个点中任取3个点，共有Ceq \\al(3,8)＝56(种)情况，这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上有3×Ceq \\al(3,4)＝12(种)情况，则所求的概率P＝eq \f(12,56)＝eq \f(3,14).
8．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 从四个阴数和五个阳数中分别随机选取一个数，所含基本事件为n＝4×5＝20(个)，其和等于11的基本事件有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，8))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，6))，共4个，所以其和等于11的概率P＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
9．袋中共有7个球，其中3个红球，2个白球，2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取
3个球中至多有1个红球的概率是( )
A.eq \f(4,35) B.eq \f(31,35) C.eq \f(18,35) D.eq \f(22,35)
答案 D
解析 方法一 所取3个球中没有红球的概率为P1＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，所取3个球中恰有1个红球的概率为P2＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,4),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，则所取3个球中至多有1个红球的概率为P＝P1＋P2＝eq \f(22,35).
方法二 “至多有1个红球”的对立事件为“至少有2个红球”，所取3个球中至少有2个红球的概率为P1＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,4),C\\al(3,7))＋eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(13,35)，故所求概率为P＝1－P1＝eq \f(22,35).
10．小王有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,6)
答案 C
解析 设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A，B，C，与之相同颜色的笔帽分别为a，b，c，
将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6个，
小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，共3个，∴小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
11．(2022·湖南长郡中学模拟)某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短的路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条，其中他经过市中心O的有4条，故经过市中心的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
12．(2022·成都质检)甲、乙两名运动员各自等可能地从编号为1,2,3的3张卡片中选择1张，则他们选择的卡片上的数字之和能被3整除的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(4,9) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 由题知甲、乙两名运动员选择的卡片结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种；
其中他们选择的卡片上的数字之和能被3整除的有(1,2)，(2,1)，(3,3)，共3种．
故他们选择的卡片上的数字之和能被3整除的概率为eq \f(1,3).
13．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1 200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 设大灯下缀2个小灯的有x个，大灯下缀4个小灯的有y个，
根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝360，,2x＋4y＝1 200，))解得x＝120，y＝240，
又灯球的总数为360个，
故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为eq \f(240,360)＝eq \f(2,3).
14．从－1,0,1,2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，从而组成不同的二次函数，其中使二次函数有两个零点的概率为________．
答案 eq \f(7,9)
解析 首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，树形图如图所示：
∴组成不同的二次函数共有3×3×2＝18(个)．
若f(x)有两个零点，则不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac.结合树形图可得，满足b2>4ac的取法有6＋4＋4＝14(种)，
∴所求概率P＝eq \f(14,18)＝eq \f(7,9).