【最新版】高中数学高三培优小题练第89练　离散型随机变量及其分布列

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第89练　离散型随机变量及其分布列，共6页。试卷主要包含了设离散型随机变量X的分布列为，设随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。

考点一 随机变量
1．下列随机变量不是离散型随机变量的是( )
A．某景点一天的游客数ξ
B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数ξ
C．水文站观测到江水的水位数ξ
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数ξ
答案 C
解析 水文站观测到江水的水位数是连续的变量，非离散型随机变量．
2．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
答案 D
解析 只有选项D中第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差大于4.
3．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是____________．
答案 －1,0,1,2,3
解析 X＝－1表示甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X＝0表示甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X＝1表示甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对，X＝2表示甲抢到2题均答对，X＝3表示甲抢到3题均答对．
考点二 离散型随机变量的分布列的性质
4．设离散型随机变量X的分布列为
则q等于( )
A.eq \f(1,2) B．1－eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(2),2) D．1±eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 由题意得eq \f(1,2)＋1－2q＋q2＝1,1－2q∈(0,1)，q2∈(0,1)⇒q＝1－eq \f(\r(2),2) .
5．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a的值为( )
A.eq \f(1,110) B.eq \f(1,55) C．110 D．55
答案 B
解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝eq \f(1,55).
6．设随机变量X的分布列为
则P(|X－3|＝1)等于( )
A.eq \f(7,12) B.eq \f(5,12) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 根据分布列的性质得出eq \f(1,3)＋m＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝1，
则m＝eq \f(1,4)，随机变量X的分布列为
所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝eq \f(5,12).
考点三 离散型随机变量的分布列
7．抛掷两枚质地均匀的硬币，则正面向上的个数X的分布列为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 因为P(X＝1)＝eq \f(1,2)，所以A，B不正确；又因为P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，所以D不正确．
8．一袋中装6只球，编号为1,2,3,4,5,6，在袋中同时取出4只，以ξ表示取出的四只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(4,6))＝eq \f(10,15)＝eq \f(2,3)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(4,6))＝eq \f(4,15)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(4,6))＝eq \f(1,15).
9．(2022·烟台模拟)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道，现从备选的10题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的是( )
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq \f(1,8)
B．答对1题的概率为eq \f(3,8)
C．答对2题的概率为eq \f(5,12)
D．合格的概率为eq \f(2,3)
答案 C
解析 设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(0,5)C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(0,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，则答对0题和答对3题的概率相同，都为eq \f(1,12)，故A错误；答对1题的概率为eq \f(5,12)，故B错误；答对2题的概率为eq \f(5,12)，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,2)，故D不正确．
10．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(2,3).则该高中获得冠军个数X的分布列为________．
答案
解析 由题意知X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(1,9)，
P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(2,3)＝eq \f(7,18)，
P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(2,3)＝eq \f(7,18)，
P(X＝3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,9).
所以X的分布列为
11．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝10，表示的试验结果是( )
A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标
C．前9次未击中目标 D．第9次击中目标
答案 C
解析 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝10，则说明前9次均未击中目标，第10次击中目标或未击中目标．
12．设随机变量ξ的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10)))等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
答案 C
解析 由题意知，随机变量ξ的分布列为
由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝eq \f(1,15).
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(3,5)))＝eq \f(1,15)＋eq \f(2,15)＋eq \f(3,15)＝eq \f(2,5).
13．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)等于( )
A.eq \f(k,n) B.eq \f(1,n) C.eq \f(k－1,n) D.eq \f(k！,n！)
答案 B
解析 {X＝k}表示“第k次恰好打开，前(k－1)次没有打开”，∴P(X＝k)＝eq \f(n－1,n)×eq \f(n－2,n－1)×…×eq \f(n－k－1,n－k－2)×eq \f(1,n－k－1)＝eq \f(1,n).
14．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．
答案
解析 ξ的可能取值为0,1，eq \r(2).
P(ξ＝0)＝eq \f(8C\\al(2,3),C\\al(2,12))＝eq \f(4,11)，P(ξ＝eq \r(2))＝eq \f(6,C\\al(2,12))＝eq \f(1,11).
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝eq \r(2))＝1－eq \f(4,11)－eq \f(1,11)＝eq \f(6,11).
所以随机变量ξ的分布列为
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－2q
q2
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
m
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
X
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
X
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
X
0
1
2
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(4,15)
eq \f(1,15)
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,15)
eq \f(4,15)
eq \f(2,3)
ξ
1
2
3
P
eq \f(2,3)
eq \f(4,15)
eq \f(1,15)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,9)
eq \f(7,18)
eq \f(7,18)
eq \f(1,9)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,9)
eq \f(7,18)
eq \f(7,18)
eq \f(1,9)
ξ
eq \f(1,5)
eq \f(2,5)
eq \f(3,5)
eq \f(4,5)
1
P
a
2a
3a
4a
5a
ξ
0
1
eq \r(2)
P
eq \f(4,11)
eq \f(6,11)
eq \f(1,11)
ξ
0
1
eq \r(2)
P
eq \f(4,11)
eq \f(6,11)
eq \f(1,11)