【最新版】高中数学高三培优小题练第73练　双曲线

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第73练　双曲线，共6页。试卷主要包含了已知定圆F1，如图，双曲线C，已知双曲线C，如图，已知双曲线E等内容，欢迎下载使用。

考点一 双曲线的定义
1．(2022·景德镇一中模拟)已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＝0，动圆M与定圆F1，F2都内切，则动圆M的圆心的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x>0) B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x<0)
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(y≠0) D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1
答案 A
解析 由题意，设动圆M的圆心为M(x，y)，半径为r，圆F1：(x＋5)2＋y2＝1的圆心为F1(－5,0)，半径为1，圆F2：(x－5)2＋y2＝25的圆心为F2(5,0)，半径为5.
而圆M与定圆F1，F2都内切，所以|MF1|＝r－1，|MF2|＝r－5，则|MF1|－|MF2|＝4<|F1F2|.于是，动圆M的圆心的轨迹为以F1(－5,0)，F2(5,0)为焦点的双曲线的右支，则c＝5，a＝2，b2＝c2－a2＝21，故动圆M的圆心的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x>0)．
2．如图，双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,10)＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F1))的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 设F2为双曲线的右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F2))，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F2))＝2×3＝6.
考点二 双曲线的标准方程
3．已知双曲线过点P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(3\r(5),2)))和P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(7),3)，4))，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1
答案 B
解析 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(3\r(5),2)))，P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(7),3)，4))两点在双曲线上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m＋\f(45,4)n＝1，,\f(112,9)m＋16n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,16)，,n＝\f(1,9)，))于是所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1.
4．(2022·天津市新华中学模拟)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,5)＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
答案 D
解析 由3x2＋8y2＝24得eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,3)＝1，
所以椭圆的焦点为(eq \r(5)，0)，(－eq \r(5)，0)．
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5－a2)＝1，
因为双曲线过点(3,2)，
所以eq \f(9,a2)－eq \f(4,5－a2)＝1，
所以a2＝3.
所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1.
考点三 双曲线的性质
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1有公共点，则双曲线C的离心率e的取值范围是( )
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))
答案 B
解析 由题意得双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
即bx－ay＝0.
∴eq \f(|0－2a|,\r(a2＋b2))≤1，∴4a2≤a2＋b2∴4a2≤c2，∴eq \f(c2,a2)≥4，
∴e2≥4，∴e≥2.
6．(2022·湘潭模拟)以双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为( )
A．x2－y2＝1 B.eq \f(x2,9)－y2＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
答案 D
解析 由题意知，所求双曲线的顶点坐标为(±3,0)，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以a＝b＝3，故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
答案 D
解析 如图，
|AF|＝b，|OA|＝a，
△AFO的面积S＝eq \f(1,2)ab＝1，∴ab＝2，①
又e＝eq \r(5)，∴eq \f(c2,a2)＝5，即a2＋b2＝5a2，
∴b＝2a，②
联立①②解得a＝1，b＝2，
∴双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
8．已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋eq \r(2)) D．(1,1＋eq \r(2))
答案 B
解析 若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝eq \f(b2,a)，|FE|＝a＋c，则eq \f(b2,a)0，则e2－e－2<0，解得－11，则19．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象．太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切．若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线的实轴长是________．
答案 2eq \r(2)
解析 以两焦点所在直线为y轴，两焦点所在线段的垂直平分线为x轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为2c，由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x,4c＝8，
所以a＝b，c＝2，进而得a＝eq \r(2)，
故双曲线的实轴长为2eq \r(2).
10．如图，已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝eq \f(5,2)，则此双曲线的离心率为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 因为2c＝|AB|＝6，所以c＝3.因为|BC|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(5,2)，所以5a＝2b2.又c2＝a2＋b2，所以9＝a2＋eq \f(5a,2)，解得a＝2或a＝－eq \f(9,2)(舍去)，故该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
11．若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝10，则|PF2|等于( )
A．2 B．4或16
C．16 D．2或18
答案 B
解析 由双曲线定义可得||PF2|－|PF1||＝6，所以|PF2|＝16或4，又因为|PF2|≥2，所以|PF2|＝16或4.
12．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
答案 A
解析 根据双曲线的标准方程，可知F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)．因为M(x0，y0)在双曲线上，所以eq \f(x\\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，即xeq \\al(2,0)＝2＋2yeq \\al(2,0)，所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)·(eq \r(3)－x0，－y0)＝xeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)＝3yeq \\al(2,0)－1.由3yeq \\al(2,0)－1<0得yeq \\al(2,0)13．设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为________．
答案 eq \f(5,3)
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
故r1＝eq \f(3b＋2a,2)，r2＝eq \f(3b－2a,2).
又r1·r2＝eq \f(9,4)ab，
所以eq \f(3b＋2a,2)·eq \f(3b－2a,2)＝eq \f(9,4)ab，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(负值舍去)，
故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1)＝eq \f(5,3).
14．已知P为双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，M，I分别为△PF1F2的重心、内心．若MI⊥x轴，则△PF1F2内切圆的半径为________．
答案 eq \r(6)
解析 不妨设点P在第一象限，D，E，F分别为⊙I与△PF1F2三边的切点．
由切线长定理以及双曲线的定义，得2a＝|PF1|－|PF2|＝(|PF|＋|FF1|)－(|PE|＋|EF2|)＝|FF1|－|EF2|＝|F1D|－|F2D|
＝(xD＋c)－(c－xD)＝2xD，
∴xD＝a＝2，
∴xM＝xI＝xD＝2.
设P(x0，y0)，由M为△PF1F2的重心知，x0＝3xM＝6，
则y0＝4eq \r(6).
∴|PF1|＝eq \r(6＋42＋4\r(6)－02)＝14，
∴|PF2|＝eq \r(6－42＋4\r(6)－02)＝10.
设△PF1F2内切圆的半径为r，
则＝eq \f(1,2)(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×r＝16r.
又＝eq \f(1,2)×|F1F2|×y0＝eq \f(1,2)×8×4eq \r(6)＝16eq \r(6)，
∴16r＝16eq \r(6)，
∴r＝eq \r(6).