【最新版】高中数学高三培优小题练第76练　圆锥曲线小题易错练

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第76练　圆锥曲线小题易错练，共5页。试卷主要包含了已知双曲线C，椭圆C，设抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A．4 B．5 C．7 D．8
答案 D
解析 由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>10－m>0，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－m)))＝\f(4,2)，))解得m＝8.
2．对抛物线y＝eq \f(1,8)x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,2)
B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,32)))
C．开口向右，焦点为(2,0)
D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)，0))
答案 A
解析 由题知，该抛物线的标准方程为x2＝8y，则该抛物线开口向上，焦点坐标为(0,2)．
3．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
答案 C
解析 方程可化为y＝ax＋b和eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1.从选项B，D中的两椭圆可知a，b∈(0，＋∞)，但由选项B中直线的位置可得a<0，b<0，矛盾，应排除；由选项D中直线的位置可得a<0，b>0，矛盾，应排除；再由选项A中双曲线的位置可得a<0，b>0，但由直线的位置可得a>0，b>0，矛盾，应排除；由选项C中双曲线的位置可得a>0，b<0，和直线中a，b的符号一致．
4．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a>0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|等于( )
A．1 B．13
C．17 D．1或13
答案 B
解析 由题意知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a>0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可知eq \f(4,a)＝eq \f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝5.又由F1，F2分别是曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|＋6＝13.
5．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))，则此双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
答案 C
解析 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，且点(3,4)在这条渐近线上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
6．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为eq \f(\r(7),4)，面积为12π，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(abπ＝12π，,\f(c,a)＝\f(\r(7),4)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝4，b＝3，
因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1.
7．(2022·湖南五市十校联考)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为eq \f(\r(2),2)，则实数m等于( )
A．2 B．2或eq \f(8,3)
C．2或6 D．2或8
答案 D
解析 若焦点在x轴上，a2＝eq \f(1,m)，b2＝eq \f(1,4)，根据e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，则eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，则eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,2)，则eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，即eq \f(1,m)＝eq \f(2,4)，则m＝2；若焦点在y轴上，a2＝eq \f(1,4)，b2＝eq \f(1,m)，即eq \f(1,4)＝eq \f(2,m)，解得m＝8，所以m＝2或m＝8.
8．设椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1，双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1，抛物线y2＝2(m＋n)x(其中m>n>0)的离心率分别为e1，e2，e3，则( )
A．e1e2>e3
B．e1e2C．e1e2＝e3
D．e1e2与e3大小不确定
答案 B
解析 e1＝eq \r(1－\f(n2,m2))，e2＝eq \r(1＋\f(n2,m2))，e3＝1，e1·e2＝eq \r(1－\f(n4,m4))<1，故e1e29．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法不正确的是( )
A．a＝eq \r(2)b，满足∠F1PF2＝90°的点P有两个
B．aC．△PF1F2的面积的最大值为eq \f(a2,2)
D．△PF1F2的周长小于4a
答案 B
解析 记椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2.选项A，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，正确；选项B，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，错误；选项C，面积S△PF1F2≤eq \f(1,2)·2c·b＝bc≤eq \f(b2＋c2,2)＝eq \f(a2,2)，正确；选项D，周长C△PF1F2＝2c＋2a<4a，正确．
10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝eq \f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq \f(\r(3),3)(x－1)
C．y＝eq \r(3)(x－1)或y＝－eq \r(3)(x－1)
D．y＝eq \f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq \f(\r(2),2)(x－1)
答案 C
解析 由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1,0)，准线x＝－1，由题可设直线l：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x，得y2－4my－4＝0.
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2)).
由根与系数的关系得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
设y1>0>y2，
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1＝－3y2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1y2＝－4，,y1＝－3y2，))解得y2＝－eq \f(2,\r(3))，
∴y1＝2eq \r(3).
∴m＝eq \f(y1＋y2,4)＝eq \f(\r(3),3)，
∴直线l的方程为x＝eq \f(\r(3),3)y＋1.
由对称性知，这样的直线有两条，即y＝±eq \r(3)(x－1)．
11．与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1焦距相同，且经过点(3eq \r(2)，2)的双曲线方程为________________________．
答案 eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,2)－eq \f(x2,18)＝1
解析 设双曲线的方程为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)，易得双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的焦距为4eq \r(5)，由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|m＋n|＝20，,\f(18,m)－\f(4,n)＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝12，,n＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－18，,n＝－2，))
故所求双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,2)－eq \f(x2,18)＝1.
12．(2022·洛阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C及其准线分别交于P，Q两点，eq \(QF,\s\up6(→))＝3eq \(FP,\s\up6(→))，则直线l的斜率为________．
答案 eq \r(15)或－eq \r(15)
解析 如图，过点P作抛物线C：y2＝2px的准线的垂线，垂足为P1，
设|FP|＝t，则|QF|＝3t，|QP|＝4t，
由抛物线的定义可得|PP1|＝|FP|＝t，
在Rt△PP1Q中，cs∠QPP1＝eq \f(|PP1|,|QP|)＝eq \f(t,4t)＝eq \f(1,4)，
所以sin∠QPP1＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2)＝eq \f(\r(15),4)，
所以tan∠QPP1＝eq \r(15)，
所以直线l的斜率可以为eq \r(15)或－eq \r(15).
13．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为____________．
答案 eq \f(5\r(2),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 设点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，y0))是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－y0＋3)),\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y\\al(2,0)－2y0＋6)),2\r(2))
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－1))2＋5)),2\r(2))，
当y0＝1时，dmin＝eq \f(5,2\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，
此时x0＝eq \f(1,2)，所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
14．设F1，F2是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，则△PF1F2的面积等于________．
答案 24
解析 双曲线的实轴长为2，焦距为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2×5＝10.由题意，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(4,3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝6，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝8，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))2，
∴PF1⊥PF2，
∴＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(1,2)×8×6＝24.