【最新版】高中数学高三培优小题练第85练　变量间的相关性及统计案例

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第85练　变量间的相关性及统计案例，共7页。试卷主要包含了下列是一个2×2列联表等内容，欢迎下载使用。

考点一 变量间的相关性
1．下列图中的两个变量是相关关系的是( )
A．① B．②③④ C．②③ D．②
答案 C
解析 ①中，所有的散点都在曲线上，所以①具有函数关系；
②中，所有的散点都分布在一条直线附近，所以②具有相关关系；
③中，所有的散点都分布在一条曲线附近，所以③具有相关关系；
④中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线或直线附近，所以④没有相关关系．
2．(2022·广西玉林市育才中学模拟)已知r1表示变量X与Y之间的相关系数，r2表示变量U与V之间的相关系数，且r1＝0.837，r2＝－0.957，则( )
A．变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性
B．变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性
C．变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性
D．变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性
答案 C
解析 因为相关系数r1＝0.837，r2＝－0.957，
所以变量X与Y之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系，
X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性．
3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且eq \(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且eq \(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且eq \(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且eq \(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 D
解析 正相关指的是y随x的增大而增大．负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④.
考点二 回归分析
4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq \x\t(x)＝3，eq \x\t(y)＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.eq \(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3 B.eq \(y,\s\up6(^))＝2x－2.4
C.eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5 D.eq \(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.4
答案 A
解析 因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.
因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.
5．已知变量x，y之间的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是( )
A.变量x，y之间呈负相关关系
B．可以预测，当x＝20时，eq \(y,\s\up6(^))＝－3.7
C．m＝4.7
D．该回归直线必过点(9,4)
答案 C
解析 对于选项A，因为－0.7<0，所以变量x，y之间呈负相关关系，故A正确；
对于选项B，当x＝20时，eq \(y,\s\up6(^))＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正确；
对于选项C，由题意可知，eq \x\t(x)＝9，故eq \x\t(y)＝－0.7×9＋10.3＝4，又因为eq \x\t(y)＝eq \f(6＋m＋3＋2,4)，所以m＝5，故C错；
对于选项D，由C可知，样本点的中心为(9,4)，因此该回归直线必过点(9,4)，故D正确．
6．某同学将收集到的6组数据，制作成如图所示的散点图，并由这6组数据计算得到线性回归直线l：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的相关系数r.现给出以下3个结论：
①r>0；②直线l恰过点D；③eq \(b,\s\up6(^))>1.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
答案 A
解析 结合散点图可知回归直线的斜率大于0，是正相关，故r>0，①正确；
由题中数据可得
eq \x\t(x)＝eq \f(1.5＋2.4＋3.5＋4＋5.8＋6.8,6)＝4.
eq \x\t(y)＝eq \f(2.1＋2.8＋3.3＋3.5＋4.3＋5,6)＝3.5，线性回归直线过样本点的中心(4,3,5)，
则直线l恰过点D，②正确；
由于kAB，kBC，kCD，kDE，kEF的斜率均小于1，而eq \(b,\s\up6(^))为回归直线斜率的估计值，③错误．
7．(2022·洛阳模拟)下列关于回归分析的说法中错误的是( )
A．线性回归方程对应的直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))不一定经过其样本数据中的点
B．残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越高
C．若回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则当x＝170时，y的值必为58.79
D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3
答案 C
解析 选项A，线性回归方程对应的直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))过样本点的中心，不一定过样本数据中的点，故A正确；
选项B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故B正确；
选项C，若回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则当x＝170时，y的预测值为58.79，故C错误；
选项D，y＝cekx，则z＝ln y＝kx＋ln c＝0.3x＋4，所以k＝0.3，c＝e4，故D正确．
考点三 列联表与独立性检验
8．下列是一个2×2列联表：
则表中a，b处的值分别为( )
A．94,96 B．52,50
C．52,57 D．54,52
答案 C
解析 ∵根据所给的列联表可以得到a＋21＝73，
∴a＝73－21＝52.
∵a＋5＝b，∴b＝57，
综上可知a＝52，b＝57.
9．在列联表中，哪两个比值相差越大，两个分类变量之间的关系越强( )
A.eq \f(a,a＋b)与eq \f(c,c＋d) B.eq \f(a,c＋d)与eq \f(c,a＋d)
C.eq \f(a,a＋d)与eq \f(c,b＋c) D.eq \f(a,b＋d)与eq \f(c,a＋c)
答案 A
解析 ∵K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
∴两个分类变量关系越强时，ad与bc的差距会越大．
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(ac＋ad－ac－bc,a＋bc＋d)))
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ad－bc)),a＋bc＋d)，
故eq \f(a,a＋b)与eq \f(c,c＋d)相差越大，两个分类变量之间的关系越强．
10．北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第200场例行新闻发布会时表示不在18～59岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据．近日专家对该年龄段内和该年龄段外的110人进行了临床试验，得到如下2×2列联表：
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
C．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关”
D．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关”
答案 D
解析 由2×2列联表可得K2＝eq \f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.822.因为6.635<7.822<10.828，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关”，即有99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关”．
11．研究机构对20岁至50岁人体脂肪百分比yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(%))和年龄x(岁)的关系进行了研究，通过样本数据，求得线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.58x－0.45，现有下列说法：
①某人年龄为70岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约40.15%；
②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.45%；
③20岁至50岁人体脂肪百分比yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(%))和年龄x(岁)成正相关．
上述三种说法中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
答案 C
解析 只有③正确．
12．在对某小学的学生进行性别与吃零食的调查中，得到下表数据：
根据上述数据分析可得出的结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为男女学生与吃零食有关系
B．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为男女学生与吃零食没有关系
C．性别不同决定了是否吃零食
D．以上都是错误的
答案 A
解析 ∵K2＝eq \f(89×24×26－31×82,32×57×55×34)
≈3.69>2.706.
∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为男女学生与吃零食有关系．
13．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表．经计算得K2≈4.762，则下列说法正确的是( )
①该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为eq \f(3,5)；
②调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意；
③在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；
④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为男、女生对该食堂服务的评价有差异．
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③
答案 D
解析 对于①，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为eq \f(30,30＋20)＝eq \f(3,5)，故①正确；
对于②，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为eq \f(40,40＋10)＝eq \f(4,5)>eq \f(3,5)，故②错误；
因为K2≈4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故③正确，④错误．
14．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y(单位均为cm)进行测量，得到数据如下表：
作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：eq \i\su(i＝1,10, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝577.5，eq \i\su(i＝1,10, )(xi－eq \x\t(x))2＝82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对嫌疑人的裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm，则估计嫌疑人的身高为________ cm.
答案 185.5
解析 回归直线的斜率eq \(b,\s\up6(^)) ＝eq \f(\i\su(i＝1,10, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,10, )xi－\x\t(x)2)
＝eq \f(577.5,82.5)＝7，eq \x\t(x)＝24.5，eq \x\t(y)＝171.5，
截距eq \(a,\s\up6(^)) ＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)＝0，
即线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝7x，当x＝26.5时，eq \(y,\s\up6(^)) ＝185.5.
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
5
22
27
总计
b
43
100
能接种
不能接种
总计
18～59岁内
40
20
60
18～59岁外
20
30
50
总计
60
50
110
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
吃零食
不吃零食
总计
男学生
24
31
55
女学生
8
26
34
总计
32
57
89
满意
不满意
总计
男
30
20
50
女
40
10
50
总计
70
30
100
x
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
y
141
146
154
160
169
176
181
188
197
203