【最新版】高中数学高三培优小题练第60练　平行、垂直问题综合练

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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若l1∥α，则在平面α内必定存在一条直线l3有l1∥l3，因为l1⊥l2，所以l3⊥l2，
若l1⊥β，则l3⊥β，又l3⊂α，即可得α⊥β；
若α⊥β，由α∩β＝l2，l3⊥l2，l3⊂α可得l3⊥β，
又l1∥l3，则有l1⊥β.
所以“l1⊥β”是“α⊥β”的充要条件．
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为( )
①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n∥m；
③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；
④若m⊥α，n∥m，n∥β，则α⊥β.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD是平面α，平面BCC1B1是平面β，但两直线BC与B1C不垂直，①错；平面ABCD是平面α，平面A1B1C1D1是平面β，但两直线B1C1与AB不平行，②错；直线A1B1是直线m，直线BC是直线n，满足m⊥n，但平面A1B1CD与平面ABCD不垂直，③错；由m⊥α，n∥m得n⊥α，∵n∥β，过n作平面γ与平面β交于直线l，则n∥l，于是l⊥α，∴α⊥β，④正确．∴只有一个命题正确．
3．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，D，E，F分别是所在棱的中点．则下列说法错误的是( )
A．平面DEF∥平面PBC
B．平面PAB⊥平面ABC
B．PA⊥BC
D．DE∥PC
答案 D
解析 ∵D，E分别是PA，AB的中点，
∴DE∥PB，又DE⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴DE∥平面PBC，
同理可得DF∥平面PBC，
又DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，
∴平面DEF∥平面PBC，故A正确；
∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC＝A，
∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，故C正确；
又PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC，故B正确；
假设DE∥PC，又DE∥PB，
∴PB∥PC，与PB∩PC＝P矛盾，故DE与PC不平行，故D错误．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B和AC的中点，则( )
A．MN∥平面BB1C1C
B．MN∥平面CC1D1D
C．MN⊥平面ABCD
D．MN是异面直线A1B和AC的公垂线
答案 A
解析 如图，M，N分别是A1B和AC的中点，因为正方体ABCD－A1B1C1D1，
所以M，N分别是AB1和BD的中点，
所以MN∥B1C，又B1C⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C，所以A正确；
因为B1C与平面CC1D1D相交，所以MN与平面CC1D1D相交，所以B错误；
因为B1C与平面ABCD所成角为45°，所以MN与平面ABCD所成角为45°，所以C错误；
因为A1B∥D1C，MN不垂直于平面ACD1，则MN不是异面直线A1B和AC的公垂线，
所以D错误．
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 设菱形对角线AC与BD交于O点，将菱形沿对角线AC折起，如图所示，
由菱形性质可知，AC⊥BD，
故将菱形沿对角线AC折起后，OB⊥AC，OD⊥AC，
从而∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，
由菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，易得OB＝OD＝eq \f(\r(3),2)，
由余弦定理可得
cs∠BOD＝eq \f(OB2＋OD2－BD2,2OB·OD)＝eq \f(1,3).
6．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM∥ED；②EF∥CD；③CN与BM为异面直线；④DM⊥BN.
以上四个命题中，正确的序号是( )
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③④
答案 D
解析 作出正方体如图所示，
由正方体可知，BM与DE为互相垂直的异面直线，故①不正确；
EF∥AB∥CD，故②正确；
CN与BM为异面直线，故③正确；
由正方体性质可知BN⊥平面DEM，故BN⊥DM，故④正确．
7．如图，在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 B
解析 如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E.
因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，
所以AE⊥平面BCD，
所以AD与平面BCD所成的角是∠ADE，
因为∠BAD＝90°，且AB＝AD，
所以∠ADE＝45°.
所以AD与平面BCD所成的角是45°.
8．过平面α外一点A引斜线段AB，AC以及垂线段AO，若AB与α所成角是30°，AO＝6，AC⊥BC，则线段BC长的取值范围是( )
A．(0,6) B．(6，＋∞)
C．(0,6eq \r(3)) D．(6eq \r(3)，＋∞)
答案 C
解析 如图所示，
∵AO⊥α，BC⊂α，∴BC⊥AO.
又BC⊥AC，AO∩AC＝A，AO，AC⊂平面ACO，
∴BC⊥平面ACO.
∵OC⊂平面ACO，∴OC⊥BC，
在Rt△OAB中，AO＝6，∠ABO＝30°，
∴OB＝eq \f(AO,tan 30°)＝6eq \r(3).
在平面α内，要使得△OBC是以OB为斜边的直角三角形，则0因此，线段BC长的取值范围是(0,6eq \r(3))．
9．(2022·昆明检测)在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论．已知直线AD∥平面α，直线BC∥平面α，F是棱BC上一动点，现有下列四个结论：
①若M，N分别为棱AC，BD的中点，则直线MN∥平面α；
②在棱BC上存在点F，使AF⊥平面α；
③当F为棱BC的中点时，平面ADF⊥平面α；
④平面α与平面BCD所成锐二面角的正切值为eq \r(2).
其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
答案 D
解析 可将正四面体放在正方体中研究，如图，平面α就是与左右两个侧面平行的平面，M，N是前后两个侧面的中心(对角线交点)，直线MN∥平面α或直线MN⊂平面α，①错误．
因为正方体的左、右两个侧面与平面α平行，因此，与平面α垂直的直线只能是与其四条侧棱平行或重合的直线，②错误．
平面ADF就是平面ADPE，由DP与侧面垂直，得面面垂直，③正确．
同样正方体中易得BC与对角面ADPE垂直，因此∠DFP是二面角D－BC－P的平面角，tan∠DFP＝eq \r(2).而平面α与平面CPBE平行，因此④正确．
10．已知l，m是平面α外的两条不同的直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________________________.
答案 如果l⊥α，m∥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)
解析 将所给论断分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；(2)如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，正确；(3)如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，错误，有可能l与α斜交或l∥α.
11．(2022·上海师大附中模拟)如图，已知AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝∠BAC＝60°，PA＝1，D是BC的中点，则点B到平面APD的距离是________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 连接PD，如图．因为AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP，所以Rt△APC≌Rt△APB，
所以PB＝PC，AB＝AC，
又D是BC的中点，所以BC⊥PD，BC⊥AD，
又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面APD，所以BC⊥平面APD，BD的长就是点B到平面APD的距离，
由已知得AB＝AC＝BC＝eq \f(2\r(3),3)，BD＝eq \f(\r(3),3).
12.如图所示，在四面体D－ABC中，若CD＝eq \r(2)，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是________．
答案 平面ACD，平面BCD
解析 由题意，过A作AE⊥CD，交CD于点E，如图所示．
因为AD＝AC＝1，CD＝eq \r(2)，所以∠DAC＝90°，
由E为CD的中点，得AE＝eq \f(\r(2),2)，
连接BE，因为BD＝BC＝1，CD＝eq \r(2)，
所以BE⊥CD，且BE＝eq \f(\r(2),2)，
所以∠AEB是二面角A－CD－B的平面角，
又AB＝1，所以AE2＋BE2＝AB2，所以∠AEB＝90°，
所以平面ACD⊥平面BCD.
13．(2022·上海模拟)如果二面角α－l－β的平面角是锐角，空间一点P到平面α，β和棱l的距离分别为2eq \r(2)，4和4eq \r(2)，则二面角α－l－β的大小为____________．
答案 75°或15°
解析 当点P在二面角α－l－β的内部时，如图所示，
PA⊥α，PB⊥β，PC⊥l, A，C，B，P四点共面，∠ACB是二面角α－l－β的平面角，
因为P到平面α，β和棱l的距离分别为2eq \r(2)，4和4eq \r(2)，
所以sin∠ACP＝eq \f(2\r(2),4\r(2))＝eq \f(1,2)，sin∠BCP＝eq \f(4,4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，
则∠ACB＝∠BCP＋∠ACP＝45°＋30°＝75°；
当点P在二面角α－l－β的外部时，如图所示，
PA⊥α，PB⊥β，PC⊥l, A，C，B，P四点共面，∠ACB是二面角α－l－β的平面角，因为P到平面α，β和棱l的距离分别为2eq \r(2)，4和4eq \r(2)，
所以sin∠ACP＝eq \f(2\r(2),4\r(2))＝eq \f(1,2)，sin∠BCP＝eq \f(4,4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，
则∠ACB＝∠BCP－∠ACP＝45°－30°＝15°.
14.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确结论的序号是________．
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AB与SC所成的角等于CD与SA所成的角．
答案 ①②③
解析 由四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，可得AC⊥BD，SD⊥AC，且BD∩SD＝D，BD，SD⊂平面SBD，
则AC⊥平面SBD，因为SB⊂平面SBD，
即AC⊥SB，故①正确；
由AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
可得AB∥平面SCD，故②正确；
由SD⊥底面ABCD，可得∠SAD为SA与平面ABD所成的角，∠SCD为SC与平面ABD所成的角，
由正方形ABCD可得AD＝CD，又SD＝SD，
所以Rt△SDA≌Rt△SDC，可得∠SAD＝∠SCD，故③正确；
由AB∥CD，可得∠SCD为AB与SC所成的角，且为锐角，
由CD⊥AD，CD⊥SD，AD∩SD＝D，AD，SD⊂平面SAD，可得CD⊥平面SAD，
可得CD⊥SA，即CD与SA所成的角为直角，故④错误．