【最新版】高中数学高三培优小题练第61练　翻折、轨迹与截面问题

第61练　翻折、轨迹与截面问题

考点一　翻折问题

1．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B－AC－D的大小为(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．90°

答案　D

解析　取AC的中点O，连接BO，DO(图略)，

V＝S△ABC·h≤S△ABC·OD，

当平面ACD垂直于平面ABC时等号成立，

此时二面角B－AC－D为90°.

2．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是(　　)

①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.

A．①②   B．②③

C．①③   D．①②③

答案　D

解析　由题意可知，CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD；平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD，故AB⊥AC；AB⊂平面ABC，故平面ABC⊥平面ACD.

3．如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝BC，将Rt△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则在翻折后的几何体A－BCDE中，AB与DE所成角的正切值为________．

答案　

解析　连接AC，如图所示．

∵四边形BCDE为正方形，∴DE∥BC，BC⊥CD，

∴DE与AB所成角即为BC与AB所成角，即∠ABC，

∵A点在平面BCDE上的射影为D点，

∴AD⊥平面BCDE，

又BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD，

∵AD，CD⊂平面ADC，AD∩CD＝D，

∴BC⊥平面ADC，

∵AC⊂平面ADC，∴BC⊥AC，

∴cos∠ABC＝＝＝，

∴tan∠ABC＝，

即DE与AB所成角的正切值为.

考点二　轨迹问题

4．平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是(　　)

A．一条直线   B．一个圆

C．两条平行直线   D．两个同心圆

答案　A

解析　如图，设直线l与l′是其中两条任意的直线，

则这两条相交直线确定一个平面β，且斜线AP⊥β，

由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知，过定点A且与AP垂直的直线都在平面β内，

∴M点在平面α与平面β的交线上．

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹是(　　)

A．点B1   B．线段B1C

C．线段B1C1   D．平面B1BCC1

答案　B

解析　如图，连接A1C，

因为BC1⊥A1Q，BC1⊥A1B1，A1Q∩A1B1＝A1，A1Q，A1B1⊂平面A1B1Q，

所以BC1⊥平面A1B1Q, 又B1Q⊂平面A1B1Q，

所以BC1⊥B1Q，又BC1⊥B1C，点Q在平面B1BCC1上，

所以点Q在线段B1C上．

6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．

答案　

解析　如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF.

因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.

由M点是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以M点的轨迹长度GH＝＝.

考点三　截面问题

7.如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的为(　　)

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝CD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

答案　C

解析　对于选项A，由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正确；对于选项B，由PQ∥AC且AC⊄截面PQMN，PQ⊂截面PQMN，可得AC∥截面PQMN，故B正确；对于选项C，由题意得AC＝2MN，BD＝2MQ，因为MN＝MQ，所以AC＝BD，不能证明AC＝CD，故C不正确；对于选项D，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角为45°，故D正确．

8．如图，在侧棱长为的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为(　　)

A.   B．2

C．3   D．4

答案　C

解析　如图所示，沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，

则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°，

在△VAA′中，由余弦定理可得

AA′＝

＝＝3.

9．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：

①正方体的截面不可能是直角三角形；

②正四面体的截面不可能是直角三角形；

③正方体的截面可能是直角梯形；

④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．

其中所有正确结论的序号是(　　)

A．②③   B．①②④

C．①③   D．①④

答案　D

解析　①当正方体的截面是三角形时，截面与正方体三条相邻的棱相交，如图所示．

设A1K＝a，A1M＝b，A1N＝c，则MK2＝a2＋b2，MN2＝c2＋b2，KN2＝a2＋c2，所以MK2≠MN2＋KN2，MN2≠MK2＋KN2，KN2≠MK2＋MN2，所以正方体的截面不可能是直角三角形，正确；

②如图所示，

取BC的四等分点F(靠近点C)，由∠AFB<90°，∠AFC>90°，可得线段BD，CD上必存在一点E，使得∠AFE＝90°，不正确；

③若截面为梯形，则截面与一组平行的对面相交，如图所示，

则BD∥MN，又BD∥B1D1，所以B1D1∥MN，所以 D1N＝B1M，则 DN＝BM，所以截面是等腰梯形，不正确；

④若正四面体的截面是梯形，如图所示．

则EH∥FG，又EH∥BD，所以FG∥BD，所以BE＝DH, BF＝DG，所以EF＝GH，所以截面一定是等腰梯形，正确．

10．已知圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则过顶点的截面面积的最大值等于(　　)

A.  B.  C．3  D．2

答案　D

解析　由圆锥的母线长为2，侧面积为2π，假设底面圆周长为l，因此×2×l＝2π，故底面圆周长为2π，底面圆的半径为.

由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径2的等腰三角形，因此轴截面的顶角是.故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时S＝×2×2×sin＝2.

11．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的各个顶点都在球面上，AB＝AD＝8，AA1＝6，过棱AB作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为(　　)

A.  B.  C．8  D．5

答案　D

解析　过棱AB作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AB＝8，

∵长方体ABCD－A1B1C1D1的各个顶点都在球面上，AB＝AD＝8，AA1＝6，

∴球的半径为＝，

∴球心到截面的距离为＝5.

12．点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面BCC1B1及其边界上运动，并保持AP⊥BD1，若正方体棱长为2，则PB的取值范围是(　　)

A．[0,2]   B．[，2]

C．[2,2]   D．[，2]

答案　D

解析　如图，连接AB1，AC，CB1，

易知BD1⊥平面ACB1，故P点的轨迹为线段CB1，

当P在CB1的中点时，PB的最小值为，

当P与C或B1重合时，PB的最大值为2，

则PB的取值范围是[，2]．

13．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图①)．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是(　　)

①AC∥平面BEF；②B，C，E，F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　①连接AC，取AC的中点O，BE的中点M，连接MO，MF(图略)，则MO∥DE，且DE＝2MO，

又因为DE＝2AF，DE∥AF，所以MO∥AF且MO＝AF，所以四边形AOMF是平行四边形，即AC∥FM，

因为AC⊄平面BEF，FM⊂平面BEF，所以AC∥平面BEF，所以①正确；②若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC⊄平面ADEF，AD⊂平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以②正确；③连接CF，DF，在梯形ADEF中，由勾股定理得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，即CD⊥EF，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以③正确；④延长AF至G，使得AF＝FG，连接BG，EG，因为BC⊥AF，BC⊥AB，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面ABF，所以平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故④错误．综上所述，共有1个说法错误．

14．(2022·复旦附中模拟)已知菱形ABCD的边长为a，∠A＝.将菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈，则异面直线AC与BD距离的最大值为(　　)

A.a  B.a  C.a  D.a

答案　C

解析　如图1，在菱形ABCD中，AC∩BD＝O，AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，

图1

当沿对角线BD折成二面角θ时，显然OA⊥BD，OC⊥BD，于是得∠AOC＝θ，取AC的中点E，连接OE，如图2，

图2

则OE⊥AC，而BD⊥平面AOC，OE⊂平面AOC，即有OE⊥BD，因此，线段OE长为异面直线AC与BD的距离，OE＝OAcos ，θ∈，

则∈，又函数y＝cos x在上单调递减，

于是当θ＝时，OEmax＝cos ＝a，

当沿对角线AC折成二面角θ时，显然OB⊥AC，OD⊥AC，于是得∠BOD＝θ，取BD的中点M，连接OM，如图3，

图3

同理，当θ＝时，OMmax＝OBcos ＝cos ＝a，而a<a，所以异面直线AC与BD距离的最大值为a.