【最新版】高中数学高三培优小题练第63练　立体几何小题综合练

第63练　立体几何小题综合练

1．已知平面α经过圆柱O1O2的旋转轴，点A，B在圆柱O1O2的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是(　　)

①一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面；

②一定存在直线l，l⊂α且l⊥AB；

③一定存在平面β，AB⊂β且β⊥α；

④一定存在平面β，AB⊂β且β∥α.

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　由已知得直线AB与平面α可能平行，也可能相交，

所以一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面，故①正确；

一定存在直线l，l⊂α且l⊥AB，故②正确；

一定存在平面β，AB⊂β且β⊥α，故③正确；

当直线AB与平面α相交时，不存在平面β，AB⊂β且β∥α，故④错误．

所以4个命题中真命题的个数是3.

2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是(　　)

A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ

C．若m⊥α，n∥m，n∥β，则α⊥β

D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

答案　C

解析　A错，因为没说明m垂直于两平面的交线；B错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行；C正确；D错，因为α与β有可能相交．

3．如图是梯形ABCD用斜二测画法画出的直观图，已知直观图中A1B1＝4，四边形B1C1D1E1是菱形且∠B1E1D1＝45°，则梯形ABCD的面积等于(　　)

A．4   B．5

C．8   D．10

答案　B

解析　由图可知，A1B1＝4，C1D1＝1，

则对应梯形ABCD中，AB＝4，CD＝1，

又知与y′轴平行的线段B1C1的长度为1，

则对应梯形ABCD的高为2，

所以S梯形ABCD＝＝5.

4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且AB⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面   B．平行

C．垂直   D．不确定

答案　C

解析　∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，

又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，

∵AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，

∴l⊥平面ABC，∴l⊥AC.

5．下列叙述不正确的是(　　)

A．已知a，b是空间中的两条直线，若a∩b＝∅，则直线a与b平行或异面

B．已知l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，若l∩α≠∅，则l⊂α或l与α只有一个公共点

C．已知α，β是空间两个不同的平面，若α∩β≠∅，则α，β必相交于一条直线

D．已知直线l与平面α相交，且l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α

答案　D

解析　对于A，根据空间中直线的位置关系有相交、平行、异面，由题意可知，a∩b＝∅说明直线a与b不相交，即直线a与b平行或异面，故A正确；对于B，根据直线与平面的位置关系有直线与平面相交、直线与平面平行、直线在平面内，因为l∩α≠∅，所以直线l与平面α不平行，即直线与平面相交或直线在平面内，从而得l⊂α或l与α只有一个公共点，故B正确；对于C，因为平面与平面的位置关系有相交和平行，因为α，β是空间两个不同的平面，而α∩β≠∅，所以平面α与β相交，即α，β必相交于一条直线，故C正确；对于D，已知直线l与平面α相交，且l垂直于平面α内的无数条直线，若这些直线中没有相交直线，则l不一定垂直于平面α，故D不正确．

6．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为3，设底面外接圆的半径为r，则2r＝⇒r＝.外接球的表面积为16π＝4πR2⇒R＝2，

外接球的球心在上、下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如图所示，

在△OMB1中，MB1＝r＝，OB1＝R＝2，

∵MB＋OM2＝OB，

解得OM＝1，MN＝h＝2，

故正三棱柱的体积为V＝S△ABCh＝×3×3××2＝.

7．已知三棱锥A－BCD的外接球为球O，△BCD是边长为3的正三角形，若三棱锥A－BCD体积的最大值为，则球O的体积为(　　)

A.π  B.π  C．100π  D．64π

答案　A

解析　设三棱锥A－BCD的高为h，当球心O在三棱锥A－BCD的高线上时，三棱锥A－BCD的体积最大，此时××3×3×h＝，解得h＝9.设球O的半径为R，如图，AM是正三棱锥的高，BM＝××3＝3，OB＝OA＝R，则(9－R)2＋32＝R2，解得R＝5，所以球O的体积为πR3＝π.

8.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)．若底面圆的弦AB所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为(　　)

A．10π＋3   B．10π

C.π＋   D．2π－3

答案　A

解析　设截面ABCD将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为V1，圆柱的体积为V，DC将圆柱的底面分成的两部分中，较大部分的底面积为S1，圆柱的底面积为S，

则S1＝×π×22＋×2×2×＝＋，

V＝π×22×3＝12π，S＝π×22＝4π，

依题意可得＝，则V1＝V＝×12π＝10π＋3.

9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

答案　C

解析　对于A，CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线，故A错误；

对于B，假设AC⊥平面ABB1A1，则AC垂直于平面内的任一条直线，即AC⊥AB，这与题设“底面△A1B1C1是正三角形”矛盾，∴假设不成立，故B错误；

对于C，∵点B1∉AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，

∴AE，B1C1为异面直线；

由题意知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，

∴AE⊥BC，又B1C1∥BC，

∴AE⊥B1C1，故C正确；

对于D，∵直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，

∴直线A1C1与平面AB1E相交，故D错误．

10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点(点P与A1，C1不重合)，则下列说法不正确的是(　　)

A．BD⊥CP

B．三棱锥C－BPD的体积为定值

C．过P，C，D1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形

D．DP与平面A1B1C1D1所成角的正弦值最大为

答案　D

解析　由题意知BD⊥平面ACC1A1，CP⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CP，故A正确；

由等体积法得VC－BPD＝VP－BCD＝·S△BCD·AA1为定值，故B正确；

设A1C1的中点为M，当P∈MC1时，如图1所示，

图1

此时截面是△D1QC，

当P∈MA1时，如图2所示，

图2

此时截面是梯形D1QRC，故C正确；

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接D1P(图略)，则D1P为DP在平面A1B1C1D1上的射影，则∠D1PD为DP与平面A1B1C1D1所成的角，

设正方体的棱长为1，PD1＝x，则DP＝，sin∠D1PD＝，

当x取得最小值时，sin∠D1PD的值最大，即当D1P⊥A1C1时，x的值最小为，

所以sin∠D1PD的值最大为，故D不正确．

11.如图所示，关于该几何体的正确说法的序号为________．

①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．

答案　①③④⑤

解析　①正确，因为有六个面，属于六面体的范围；

②错误，因为四棱台侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；

③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；

 ④⑤如图，都正确．

12．如图，在三棱锥A－BCD的平面展开图中，四边形BCED是菱形，BC＝，BF＝2，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为______．

答案　4π

解析　将平面展开图还原为三棱锥A－BCD，如图所示，

则BC＝BD＝AC＝AD＝，AB＝2，

∴BD2＋DA2＝AB2，BC2＋CA2＝AB2，

∴BD⊥AD，BC⊥AC.

取AB的中点O，连接OD，OC，则OA＝OB＝OC＝OD，

∴O为三棱锥A－BCD外接球的球心，半径R＝1，故三棱锥A－BCD外接球的表面积S＝4πR2＝4π.

13．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为________．

答案　

解析　设AC，BD的交点为O，连接EO(图略)，则∠AEO为AE，SD所成的角或其补角．设正四棱锥的棱长为a，则AE＝a，EO＝a，OA＝a，

所以cos∠AEO＝

＝＝.

14．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D－ABC，则在翻折的过程中有下列结论：

①三棱锥D－ABC的体积最大值为；

②三棱锥D－ABC的外接球体积不变；

③异面直线AB与CD所成角的最大值为90°.

其中正确的是________．(填序号)

答案　①②③

解析　由题意知，矩形ABCD，AB＝1，BC＝，可得AC＝2，

在翻折的过程中，当平面ACD⊥平面ACB时，

D到底面的距离最大，且为Rt△ACD斜边AC边上的高，且高为，可得三棱锥D－ABC的体积最大值为××1××

＝，故①正确；

取AC的中点O，连接OB，OD，

可得OA＝OB＝OC＝OD，即O为三棱锥D－ABC的外接球的球心，且半径为1，体积为π，故②正确；

若AB⊥CD，又AB⊥BC，CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面BCD，

可得AB⊥平面BCD，即有AB⊥BD，

由AB＝1及AD＝可得BD＝，

将△ADC沿对角线AC翻折的过程中，存在某个位置使得BD＝成立，故③正确．