【最新版】高中数学高三培优小题练第37练　高考大题突破练——解三角形

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第37练　高考大题突破练——解三角形考点一　解三角形1．(2022·梅州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＋b＝2ccos B.(1)求角C；(2)若CD是角C的角平分线，AD＝2，DB＝，求CD的长．解　(1)由2a＋b＝2ccos B，根据正弦定理可得2sin A＋sin B＝2sin Ccos B，则2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Ccos B，所以2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B＝2sin Ccos B，整理得(2cos C＋1)sin B＝0，因为B，C均为三角形内角，所以B，C∈(0，π)，因此cos C＝－，所以C＝.(2)因为CD是角C的角平分线，AD＝2，DB＝，所以在△ACD和△BCD中，由正弦定理可得＝，＝，因此＝＝2，即sin B＝2sin A，所以b＝2a，又由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，即(3)2＝a2＋4a2＋2a2，解得a＝3，所以b＝6，又S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，即absin C＝b×CD×sin ＋a×CD×sin ，即18＝9CD，所以CD＝2.  考点二　面积问题2．(2022·宁波模拟)已知△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2acos A＝(ccos B＋bcos C)．(1)求A的值；(2)若a＝1且sin B＋cos C＝，求△ABC的面积．解　(1)由2acos A＝(ccos B＋bcos C)，得2sin Acos A＝(sin Ccos B＋sin Bcos C)，故2sin Acos A＝sin(B＋C)，即2sin Acos A＝sin A.∵sin A≠0，∴cos A＝，而A∈(0，π)，∴A＝.(2)由sin B＋cos C＝，A＝，得sin＋cos C＝，则sin C＋cos C＝，sin＝，C∈，∴C＋＝，C＝，B＝.故＝，即b＝＝＝.又C＝，故S△ABC＝×1×＝. 考点三　最值范围问题3．(2022·遵义模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csin C－bsin B＝a(sin A－sin B)．(1)求角C；(2)若D为AB的中点，且c＝2，求CD的最大值．解　(1)因为csin C－bsin B＝a(sin A－sin B)，所以c2－b2＝a2－ab，所以c2＝a2＋b2－ab且c2＝a2＋b2－2abcos C，所以cos C＝，所以C＝.(2)因为＝，所以||2＝2＝a2＋b2＋，又因为c2＝a2＋b2－ab＝4，所以a2＋b2＝4＋ab≥2ab，所以ab≤4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以CD2＝a2＋b2＋＝≤＝3，所以CD≤(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以CD的最大值为.4．(2022·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝asin B＋bcos A.(1)求B；(2)若△ABC是锐角三角形，b＝3，求△ABC周长的取值范围．解　(1)由正弦定理得，sin C＝sin Asin B＋sin Bcos A，在△ABC中，A＋B＋C＝π，C＝π－A－B，故sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，∴sin Acos B＋cos Asin B＝sin Asin B＋sin Bcos A，∴sin Acos B＝sin Asin B，又sin A≠0，从而cos B＝sin B，tan B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.(2)由正弦定理得，2R＝＝2，其中R为△ABC的外接圆半径，又A＋C＝，故a＋c＝2Rsin A＋2Rsin C＝2(sin A＋sin C)＝2＝2＝6sin，∵△ABC是锐角三角形，∴0<A<，0<C<，即0<A<且0<－A<，故<A<，<A＋<，∴<sin≤1，从而3<a＋c≤6，故3＋3<a＋b＋c≤9，故△ABC周长的取值范围为.