湘教版初中数学九年级上册期中测试卷（较易）（含答案解析）

湘教版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知点在函数的图象上，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知点在反比例函数为常数，的图象上，则该反比例函数的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一个动点，过点作轴轴交函数的图象于点，点、在轴上在的左侧，且，连接、这关于四边形的面积的结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 四边形的面积无法确定

4. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为若的面积等于，则的值等于(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 用求根公式解一元二次方程时，，的值是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

7. 设方程的两根分别是，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某超市一月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是 (    )

A.  B.  C.  D.

10. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中号“”字的高度长为，当测试距离为时，号“”字的高度长为(    )
     

A.  B.  C.  D.

12. 已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ；

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知一个函数的图象与的图象关于轴对称，则该函数的表达式为          ．
14. 反比例函数的图象经过点，则______．
15. 三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是______．
16. 已知，则          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象的一个交点为．
    求的值；
    直线与轴交于点，与轴交于点，连接，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围．
18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    若点在轴上，位于原点右侧，且，求的面积．

19. 本小题分
    如图，反比例函数图象上、两点的坐标分别为，．
    求反比例函数和直线的解析式；
    连结、，求的面积．

20. 本小题分
    某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每周可卖出件，市场调查反映，如调整价格，每涨元，每周少卖出件，每周销量不少于件．
    每件售价最高为多少元？
    实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降元，每周销量比最低销量件多卖件，要使利润达到元，则每件应降价多少元？
21. 本小题分
    新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗．年七月，国家发布通知，岁未成年人也可接种新冠疫苗．随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物制药厂现有条生产线最大产能是万支天，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万支天，现该厂要保证每天生产疫苗万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下生产线越多，投入越大，应该增加几条生产线？
22. 本小题分
    年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件．
    若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
    市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？
23. 本小题分
    综合与实践：宽与长的比是约为的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等，
    实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形如图所示：
    第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸展平．
    
    第二步：如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
    第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处．
    
    第四步：展平纸片，按照所得的点折出，矩形图就是黄金矩形．
    问题解决：
    请在图中证明四边形是正方形；
    若，请通过计算来说明矩形是黄金矩形．
24. 本小题分
    如图，在中，点在边上，．
    求证：∽；
    若，求的长．

25. 本小题分
    如图，点为边上一点，，，求证：∽．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解答】
解：，
函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，
，，
．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：将点代入反比例函数，得，
解得．
反比例函数表达式为：，
故选：．
直接把点代入反比例函数，求出的值即可．
本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：利用、，
点是函数图象上的一个动点，过点作轴，交函数的图象于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
轴，
，，
，
，
故选：．
先证得四边形是平行四边形，然后根据反比例函数的几何意义得到，即可利用求得．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了反比例函数的性质．
利用反比例函数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定的值．
【解答】
解：的面积等于，
，
而，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须同时满足三个条件：
是整式方程；
只含有个未知数；
未知数的最高次数是．
【解答】
解：、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
先按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【解答】
解：，
，
则，，，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【解答】
解：由可知，其二次项系数，一次项系数，
由根与系数的关系：，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程首先根据题意找出数量关系，然后列出该一元二次方程即可解答．
【解答】
解：由题意得，二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
则由题意列方程应为，

即．
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
延长交于点，可得，即可求两个正方形的相似比．
本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的对角线的长度比．
【解答】

解：在正方形中，，

．

如图，延长交于点．

点的坐标为，

，．

，

．

，

，

，

正方形与正方形的相似比是．
故选B．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的性质；熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由已知得出，由比例的性质即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
∽，
，
，，，
，
，
故选：．
直接利用相似三角形的判定和性质定理列比例式，代入可得结论．
本题考查了相似三角形的应用，比较简单；正确列出比例式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：∽，和是它们的对应角平分线，，，
两三角形的相似比为：：：，
则与的面积比是：：．
故选：．
根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，解得．
故答案是：．
直接把点代入反比例函数求出的值即可．
本题考查的是待定系数法求反比例函数解析式，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，，
若，即第三边为，，不能构成三角形，舍去；
当时，这个三角形周长为，
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
．
 

17.【答案】解：在反比例函数的图象上，
；
由题意得，
当直线经过，时，
，解得，
当直线经过，时，
，解得，
若，求的取值范围是或． 

【解析】把代入求得即可；
由题意得，然后分两种情况求得的值，再根据，求得的取值范围．
本题主要涉及一次函数与反比例函数相交的知识点．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

18.【答案】解：反比例函数图象与一次函数图象相交于点，．
，
解得，
反比例函数解析式为，
，
解得，
点的坐标为，
，
解得，
一次函数解析式为；
，
，
，
，
的面积． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数解析式求出值，从而得到反比例函数解析式，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；
利用勾股定理求得，即可求得的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点的坐标求出反比例函数解析式以及点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：把代入得：，
反比例函数解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
设直线与轴于点，则当时，，
，
，
，
的面积为：． 

【解析】把代入，可得出的值，进而得出的坐标，然后把、的坐标代入，即可利用待定系数法求得函数的解析式；
求得的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每件的售价为元，
依题意得：，
解得：．
答：每件售价最高为元．
设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每周的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽快减少库存，
．
答：每件应降价元． 

【解析】设每件的售价为元，利用每周的销售量上涨的价格，结合每周销量不少于件，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每周的销售量为件，利用每周销售该商品获得的利润每件的销售利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价元．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

21.【答案】解：设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万支天，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要节省投入，
．
答：应该增加条生产线． 

【解析】设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万支天，根据要保证每天生产疫苗万支，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要节省投入，即可得出应该增加条生产线．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元． 

【解析】设月平均增长率是，利用月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：由矩形的性质可知，
由折叠可知，，
，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；

解：，
，
在中，，
由折叠可知，
，
又，
，
矩形为黄金矩形． 

【解析】由折叠的性质得出，，根据矩形的判定和正方形的判定可得出答案；
由勾股定理求出，则，根据黄金矩形的定义即可判断．
本题考查了翻折变换、正方形的判定与性质、矩形的性质、黄金矩形的定义、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】证明：，，
∽；
解：∽，
，
，
． 

【解析】由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证明∽；
由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
，
，，
，
又，
∽． 

【解析】直接利用：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似去证明即可．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．