【最新版】高中数学高三培优小题练第41练　平面向量小题综合练

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A．a＋b B．b－a
C．c－b D．b－c
答案 D
解析 eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝b－c.
2．向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，1))，若a⊥b，则x等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 A
解析 ∵a⊥b，
∴a·b＝－x＋2＝0，
∴x＝2.
3.已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))，则下列等式中成立的是( )
A．c＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a
B．c＝2b－a
C．c＝2a－b
D．c＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
答案 A
解析 eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a.
4．已知△ABC所在平面内的一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，则点P必在( )
A．△ABC的外面 B．△ABC的内部
C．边AB上 D．边AC上
答案 C
解析 因为eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，可得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→)).
可得A，B，P三点共线，所以点P在边AB上．
5．已知非零向量a与b方向相反，则下列等式中成立的是( )
A．|a|－|b|＝|a－b|
B．|a＋b|＝|a－b|
C．|a|＋|b|＝|a－b|
D．|a|＋|b|＝|a＋b|
答案 C
解析 |a|－|b|可能等于零，大于零，小于零，|a－b|＝|a|＋|b|>0，A不成立；
|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|，B不成立；
|a－b|＝|a|＋|b|，C成立；
|a＋b|＝||a|－|b||≠|a|＋|b|，D不成立．
6．设单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为( )
A．－eq \f(3\r(3),2) B．－eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(3\r(3),2)
答案 A
解析 依题意得e1·e2＝1×1×cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
|a|＝eq \r(e1＋2e22)＝eq \r(e\\al(2,1)＋4e\\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq \r(3)，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)
＝2eeq \\al(2,1)－6eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－eq \f(9,2)，
因此b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq \f(3\r(3),2).
7．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq \r(3)，若D，E 分别是AC，AB 的中点，则eq \(CE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的值为( )
A.eq \f(13,2) B．2 C．－eq \f(13,2) D．－2
答案 C
解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,1)，B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(1,2)))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(27,4)＋eq \f(1,4)＝－eq \f(13,2).
8．(2022·济南模拟)若|a＋b|＝|a－b|＝eq \f(2\r(3),3)|a|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 A
解析 由|a＋b|＝|a－b|得(a＋b)2＝(a－b)2，
∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
即a·b＝0，
设向量a＋b与a的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(a＋b·a,|a＋b||a|)＝eq \f(|a|2,|a＋b||a|)
＝eq \f(|a|,|a＋b|)，
又|a＋b|＝|a－b|＝eq \f(2\r(3),3)|a|，
∴cs θ＝eq \f(\r(3),2)，θ＝eq \f(π,6).
9．已知O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线的三个点，点O满足eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))－\f(\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))))))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→)))))－\f(\(BC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→)))))))＝0，则O点一定是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案 B
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))－\f(\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))))))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))))，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))))·cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))))))·cs 〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉，
∴cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝cs 〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉，
∴O点为∠BAC的角平分线上的点，
同理可得O点为∠ABC的角平分线上的点，
所以O点为△ABC角平分线的交点，即O点一定是△ABC的内心．
10．在平行四边形ABCD中，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝4，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于点H, 则eq \(AH,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))的值为( )
A．12 B．16 C.eq \f(12,5) D.eq \f(16,5)
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|cs 120°＝4×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4，
取DE的中点M，则FM＝eq \f(1,2)CE，所以eq \f(AH,HF)＝eq \f(AD,FM)＝4，
所以eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AF,\s\up6(→))，
因此eq \(AH,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(AD,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))2－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))2))
＝eq \f(4,5)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)×－4＋\f(1,2)×16－\f(1,2)×4))＝eq \f(12,5).
11．已知向量a＝(6，k)，向量b＝(3，－1)，a－b与b共线，则k＝________.
答案 －2
解析 因为a－b＝(3，k＋1)，
a－b与b共线，
所以3(k＋1)＝－3，解得k＝－2.
12．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为eq \f(2π,3)，则k＝________.
答案 －1±eq \r(3)
解析 因为a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝(k，k＋2)，a＋b＝(1，－1)，所以|a＋b|＝eq \r(12＋－12)＝eq \r(2)，|ka－b|＝eq \r(k2＋k＋22)，(ka－b)·(a＋b)＝k－(k＋2)＝－2，因为ka－b与a＋b的夹角为eq \f(2π,3)，所以(ka－b)·(a＋b)＝|ka－b||a＋b|cseq \f(2π,3)，即－2＝eq \r(2)×eq \r(k2＋k＋22)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，即k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±eq \r(3).
13．已知向量a，b，c满足a·b＝0，|c|＝1，|a－c|＝|b－c|＝eq \r(13)，则|a－b|的最大值是________．
答案 6
解析 设A(a,0)，B(0，b)，C(cs θ，sin θ)，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
则|eq \(CA,\s\up6(→))|2＝|a－c|2＝(a－cs θ)2＋sin2θ＝13，|eq \(CB,\s\up6(→))|2＝|b－c|2＝cs2θ＋(b－sin θ)2＝13，
整理得a2＋b2－2acs θ－2bsin θ＝24，所以a2＋b2－24＝2eq \r(a2＋b2)sin(θ＋φ)，
则a2＋b2－24≤2eq \r(a2＋b2)，
解得0≤eq \r(a2＋b2)≤6，
所以|a－b|max＝(eq \r(a2＋b2))max＝6.
14.如图所示， ∠BAC＝eq \f(2π,3)，圆M与AB，AC分别相切于点D，E, AD＝1，点P是圆M及其内部任意一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AE,\s\up6(→))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y∈R))，则x＋y的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－2\r(3)，4＋2\r(3)))
解析 如图，过A点作圆的直径所在直线，连接MD，可知∠MAD＝eq \f(π,3)，AD＝1，r＝MD＝eq \r(3)，AM＝2,2－eq \r(3)≤AP≤2＋eq \r(3)， 作平行四边形ABHG, 当P点在H点时，四边形ABHG为菱形，显然x，y取最大值，由AB＝AG＝2＋eq \r(3)，所以x＝y＝2＋eq \r(3)，即(x＋y)max＝4＋2eq \r(3).同理，当P点在F点时，(x＋y)min＝4－2eq \r(3).所以x＋y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－2\r(3)，4＋2\r(3))).