【最新版】高中数学高三培优小题练第20练　导数小题易错练

第20练　导数小题易错练

1．已知下列四个命题，其中正确的个数为(　　)

①(2x)′＝x·2x－1；②(sin x)′＝－cos x；

③(logax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；

④(ln 2)′＝.

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　A

解析　①(2x)′＝2x·ln 2，所以①错误；

②(sin x)′＝cos x，所以②错误；

③(logax)′＝(a>0，且a≠1)，所以③错误；

④(ln 2)′＝0，所以④错误．

2．(2022·开封模拟)函数f(x)＝x(ln x)2的单调递减区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　由题意，f′(x)＝(ln x)2＋x·＝(ln x)2＋2ln x，

令f′(x)<0，得－2<ln x<0，则<x<1，故f(x)的单调递减区间是.

3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－3处取得极大值，则函数y＝xf′的图象可能是(　　)

答案　D

解析　函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－3处取得极大值，

当x<－3时，f′(x)>0；当x＝－3时，

f′(x)＝0；当x>－3时，f′(x)<0.

所以当x<－3时，xf′(x)<0；

当x＝－3时，xf′(x)＝0；

当－3<x<0时，xf′(x)>0；当x＝0时，xf′(x)＝0；

当x>0时，xf′(x)<0.

4．在函数f(x)＝x3－x2图象上某点处的切线的倾斜角的取值范围为(　　)

A.   B.∪

C.   D.

答案　B

解析　由函数f(x)＝x3－x2，得f′(x)＝x2－2x，设函数f(x)＝x3－x2图象上任一点P(x0，y0)，且在该点处的切线的倾斜角为α(0≤α<π)，

则f′(x0)＝x－2x0＝(x0－1)2－1≥－1，

∴切线斜率k≥－1，

∴0≤α<或≤α<π.

∴在函数f＝x3－x2图象上某点处，

切线倾斜角的范围为∪ .

5．已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1在x∈(－∞，－2)上单调递增，在x∈(－2,1)上单调递减，则函数f(x)在x∈[－2,2]的值域是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1，

由已知可得f′(－2)＝0⇒a＝－1，

则f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1，

当x∈[－2,1]时，f′(x)≤0⇒f(x)单调递减，

当x∈(1,2]时，f′(x)>0⇒f(x)单调递增，

则f(x)min＝f(1)＝－1，f(－2)＝5e－3，

f(2)＝e，所以f(x)max＝f(2)＝e，

综上，f(x)∈[－1，e]．

6．(2022·德州模拟)若函数f(x)＝ex－(a－1)x＋1在(0,1)上不单调，则a的取值范围是(　　)

A.

B.

C.∪

D.∪

答案　A

解析　∵f(x)＝ex－(a－1)x＋1，

∴f′(x)＝ex－a＋1，

若f(x)在(0,1)上不单调，则f′(x)在(0,1)上有变号零点，

又∵f′(x)单调递增，

∴f′·f′<0，

即(1－a＋1)(e－a＋1)<0，

解得2<a<e＋1.

∴a的取值范围是(2，e＋1)．

7．(2022·丽水模拟)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则有(　　)

A．b>0，c>0   B．b<0，c>0

C．b>0，c<0   D．b<0，c<0

答案　A

解析　因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，

所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，

函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象从左到右先减后增再减，

所以二次函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c的图象开口向下，

所以a<0 ，

因为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的极值点一正一负，

所以3ax2＋2bx＋c＝0 有两个不同的根，且一正一负，

所以<0 ，由a<0可知c>0，

结合图象可知在3ax2＋2bx＋c＝0的一正一负两根中，

正根的绝对值大于负根的绝对值，故两根之和大于0，

即－>0，由a<0可知b>0.

8．已知过点A(a,0)作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－4)∪(0，＋∞)

B．(0，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)

答案　A

解析　设切点为，y′＝(x＋1)ex，

∴y′，

则切线方程为y－x0ex0＝·ex0(x－x0)，

将点A(a,0)代入得－x0ex0＝·ex0(a－x0)，

∴a＝，即方程x－ax0－a＝0有两个不同的实数解，

则有Δ＝a2＋4a>0⇒a>0或a<－4.

9．(2022·咸宁模拟)已知函数f(x)＝x3－3x，若函数f(x)在区间(m,8－m2)上有最大值，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－3，－]

B．(－3，－1)

C．(－，1)

D．[－2,1)

答案　A

解析　由f(x)＝x3－3x，

得f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，

∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，

当－1<x<1时，f′(x)<0，

故x＝－1是函数f(x)的极大值点，

f(－1)＝－1＋3＝2，

令f(x)＝x3－3x＝2，即(x＋1)(x2－x－2)＝0，

∴x＝－1或x＝2，又函数f(x)在区间(m,8－m2)上有最大值，

∴

解得－3<m≤－.

10．已知函数f(x)＝aex－1－exln(x＋1)－1存在零点x0，且x0>1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1＋eln 2)   B．(－eln 2，＋∞)

C．(－∞，－eln 2)   D．(1＋eln 2，＋∞)

答案　D

解析　由题意，函数f(x)＝aex－1－exln(x＋1)－1，

令f(x)＝0，可得a＝e1－x＋eln(x＋1)，

设g(x)＝e1－x＋eln(x＋1)，x>1，

则g′(x)＝－e1－x＋＝e·，

由y＝ex－x－1的导数为y′＝ex－1，

当x>1时，ex－1>e－1>0，

则函数y＝ex－x－1在(1，＋∞)上单调递增，且y＝ex－x－1>0，即g′(x)>0，

则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，

可得g(x)>g(1)＝1＋eln 2，则a>1＋eln 2.

11．(2022·遵义模拟)若函数f(x)＝x3－ax2＋x－5无极值点，则实数a的取值范围是________．

答案　[－1,1]

解析　∵f(x)＝x3－ax2＋x－5，

∴f′(x)＝x2－2ax＋1，

由函数f(x)＝x3－ax2＋x－5无极值点知，

f′(x)＝0至多有1个实数根，

∴Δ＝(－2a)2－4≤0，

解得－1≤a≤1，

故实数a的取值范围是[－1,1]．

12．设函数f(x)＝－bx2＋a2x－在x＝1处取得极值为0，则a＋b＝________.

答案　－

解析　∵f(x)＝－bx2＋a2x－，

∴f′(x)＝ax2－2bx＋a2，

∵f(x)在x＝1处取得极值为0，

∴f′(1)＝a－2b＋a2＝0，f(1)＝0，

∴a＝1或a＝－，

当a＝1时，b＝1，f(x)＝－x2＋x－，

∴f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

此时函数f(x)没有极值，

∴a＝1不成立．

∴当a＝－时，b＝－，经检验符合题意，

∴a＋b＝－.

13．(2022·西安模拟)∃x0∈(1,2]，使不等式a(x0－1)2≥ln x0成立，则实数a的取值范围是________．

答案　[ln 2，＋∞]

解析　问题转化为∃x0∈(1,2]，使a≥成立，令g(x)＝，x∈(1,2]，

则g′(x)＝，令h(x)＝1－－2ln x，x∈(1,2]，

则h′(x)＝－＝<0，

所以h(x)在(1,2]上单调递减，

所以h(x)<h(1)＝0，

所以g′(x)<0，

所以g(x)在(1,2]上单调递减，

所以g(x)min＝g(2)＝ln 2，

所以a≥ln 2，

即实数a的取值范围为[ln 2，＋∞)．

14．已知函数f(x)＝－ex＋2x－x3(e为自然对数的底数)，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　 由题意得f′(x)＝－－ex＋2－x2

＝－＋2－x2，

 因为ex＋≥2＝2，当且仅当ex＝，即x＝0时取等号，

所以f′≤0，所以函数f单调递减，

又f(－x)＝ex－－2x＋x3＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数，

f(3a2)＋f(2a－1)≥0，

所以f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，

即3a2≤1－2a，解得－1≤a≤.