【最新版】高中数学高三培优小题练第16练　导数的概念及其意义、导数的运算

专题3　导数及其应用

第16练　导数的概念及其意义、导数的运算

考点一　导数的运算

1．(2022·南昌质检)下列求导运算不正确的是(　　)

A.′＝－tan x

B.′＝

C.′＝

D.′＝－

答案　A

解析　(tan x)′＝′＝

＝，故A错误；

′＝，故B正确；

()′＝′＝

＝(4x＋2)，故C正确；

′＝′＝－＝－，故D正确．

2．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′等于(　　)

A．－  B.  C．－  D．－

答案　C

解析　f(π)＝－，f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，

∴f′＝×(－1)＝－，

∴f(π)＋f′＝－.

3．若函数f(x)＝(x－2 019)(x－2 020)(x－2 021)(x－2 022)，则f′(2 021)等于(　　)

A．－2  B．－1  C．0  D．1

答案　A

解析　令g(x)＝(x－2 019)(x－2 020)(x－2 022)，则f(x)＝(x－2 021)·g(x)，

则f′(x)＝1·g(x)＋(x－2 021)·g′(x)，

所以f′(2 021)＝g(2 021)＝2×1×(－1)＝－2.

4．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f 的值为________．

答案　1

解析　∵f′(x)＝－f′·sin x＋cos x，

∴f′＝－f′·sin ＋cos ，

解得f′＝－1，故f ＝f′cos ＋sin ＝＋＝1.

考点二　导数的几何意义

5．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)

A．(1,0)   B．(2,8)

C．(1,0)和(－1，－4)   D．(2,8)和(－1，－4)

答案　C

解析　依题意，令f′(x)＝3x2＋1＝4，解得x＝±1，

f(1)＝0，f(－1)＝－4.

故P0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)．

6．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a等于(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　D

解析　y＝eax－ln，y′＝aeax－，

当x＝0时，y′＝a－1.

又曲线y＝eax－ln在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，

即y＝2x＋1，从而a－1＝2，即a＝3.

7．(2022·新余模拟)直线l是曲线y＝－x3－x的切线，则它的倾斜角α的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　设P(x0，y0)是直线l与曲线y＝－x3－x的切点，

对y＝－x3－x求导得y′＝－x2－，于是得切线l的斜率tan α＝－x－≤－，当且仅当x0＝0时取“＝”，

显然，α为钝角，又tan α在上单调递增，于是得<α≤，

所以倾斜角α的取值范围是.

8．函数f(x)＝aln x－＋x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－]

B．[－2，＋∞)

C．(－∞，－2]

D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

答案　C

解析　f′(x)＝＋＋1(x>0)，

依题意＋＋1＝0有解，

即当x>0时，－a＝＋x有解．

又当x>0时，＋x≥2，

当且仅当x＝时取“＝”．

∴－a≥2，

∴a≤－2.

9．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　)

①y＝cos x；②y＝ln x；③y＝ex；④y＝x2.

A．①②  B．①④  C．②③  D．②④

答案　B

解析　由题意知，若y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.

对于①，因为f′(x)＝－sin x，所以存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；

对于②，因为f′(x)＝>0，所以不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；

对于③，因为f′(x)＝ex>0，所以不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；

对于④，因为f′(x)＝2x，所以存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.

10．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．

答案　5x－y＋2＝0

解析　y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.

11．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分的概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)>0，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有<f ，则下列选项正确的是(　　)

A．f(π)<f(e)<f(2)

B．f′(π)>f′(e)>f′(2)

C．f′(2)<f(2)－f(1)<f′(1)

D．f′(1)<f(2)－f(1)<f′(2)

答案　C

解析　由f′(x)>0，得f(x)在R上单调递增，因为π>e>2，所以f(π)>f(e)>f(2)，故A不正确；

对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有<f，可得函数的图象向上凸，可用如图的图象来表示，

f′(x)表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f′(π)<f′(e)<f′(2)，故B不正确；

令f(2)－f(1)＝＝kAB，表示点(1，f(1))与点(2，f(2))连线的斜率，

由图可知f′(2)<kAB<f′(1)，所以C正确，D不正确．

12．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)

A．eb<a   B．ea<b

C．0<a<eb   D．0<b<ea

答案　D

解析　方法一　设切点(x0，y0)，y0>0，则切线方程为y－b＝(x－a)，由得(1－x0＋a)＝b，则由题意知关于x0的方程(1－x0＋a)＝b有两个不同的解．设f(x)＝ex(1－x＋a)，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以当x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，当x<a时，a－x>0，所以f(x)>0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，

因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0<b<ea.

方法二　(用图估算法)过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线 ，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.

13．(2022·石家庄模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝aex(a>0)存在公切线，则a的取值范围是________．

答案　

解析　设公切线在y＝x2上的切点为(x1，x)，在y＝aex(a>0)上的切点为(x2，)，

函数y＝x2，y＝aex(a>0)的导函数分别为y′＝2x，y′＝aex，

则公切线的斜率为2x1＝＝，整理得a＝，

由a>0可知，x2>1，

令f(x)＝，x∈(1，＋∞)，

则f′(x)＝＝，

f′(x)>0⇒1<x<2；f′(x)<0⇒x>2，

∴f(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，

f(x)max＝f(2)＝；当x→＋∞时，f(x)→0，

即0<f(x)≤，

∴a∈.

14．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－kx＋1.若g(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围是________．

答案　(0,1)

解析　g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)＝kx－1有四个不同的根，

等价于y＝f(x)，y＝kx－1的图象有四个不同的交点，

作出y＝f(x)，y＝kx－1的图象，

由图可知当k＝0时，两图象有三个交点，

由x2＋3x＝kx－1，Δ＝0⇒k＝1或k＝5，

当k＝5时显然不符合题意；

当k＝1时，此时y＝x－1过y＝h(x)＝ln x 上的点(1,0)，h′(x)＝，

所以h′(1)＝1，即y＝x－1与y＝ln x相切，

可得k＝1时，两图象有两个交点，

由图可知，当0<k<1时，y＝f(x)，y＝kx－1的图象有四个不同的交点，

即g(x)恰有4个零点，

所以若g(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围是(0,1)．