2021-2022学年天津市耀华嘉诚国际中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年天津市耀华嘉诚国际中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列运算正确的是( )
A. (-1x)'=-1x2B. (x3+1)'=3x2+1
C. (lg2x)'=1xln2D. (csx)'=sinx
角α的终边过点P(-1,2)，则sinα=( )
A. 55B. 255C. -55D. -255
若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=( )
A. 40B. 41C. -40D. -41
为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点( )
A. 向左平移π5个单位长度B. 向右平移π5个单位长度
C. 向左平移π15个单位长度D. 向右平移π15个单位长度
对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为y​=0.85x+2.1，则表中看不清的数据为( )
A. 2.2B. 1.8C. 1.6D. 1.4
为切实做好新冠肺炎疫情防控工作，有效、及时控制和消除新冠肺炎的危害，增强高中学生对新冠肺炎预防知识的了解，某学校某班级组织了“抗击新冠疫情“知识竞赛，王同学在5道“抗击新冠疫情”知识题中(3道选择题和2道填空题)，每次从中随机抽取1道题，抽出的题不再放回，设事件A为“第1次抽到选择题”，设事件B为“第2次抽到填空题”，则P(B|A)为( )
A. 12B. 35C. 310D. 110
当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2，则f'(2)=( )
A. -1B. -12C. 12D. 1
甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A. (-1,11)B. (-1,4)C. (-1,2]D. (-1,2)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
(x2-3x)3的展开式中常数项是______．
随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(22.5)=______．
已知随机变量ξ～B(n,p)，且Eξ=6，Dξ=3，则n= ______ ．
市面上某类饮料共有3种品牌A、B、C在售，且均为有奖销售．已知3种品牌A、B、C的市场占有率分别为60%、30%、10%，且3种品牌每瓶的中奖率分别为10%、20%、30%.现从市场上任意购买一瓶，则该瓶饮料中奖的概率为______．
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为f(x)=______．
3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有______种不同的分乘方法．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8.0分)
设函数f(x)=x2+1-lnx．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数g(x)=f(x)-x在区间[12,2]上的最小值．
(本小题10.0分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=27，c=2，B=π3．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求sinA；
(Ⅲ)求sin(B-2A)的值．
(本小题10.0分)
某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名；高二年级参赛选手4名，其中男生3名从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛．
(Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级“.求事件A发生的概率；
(Ⅱ)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
(本小题12.0分)
已知函数f(x)=x-1-a(x-1)2-lnx(a∈R)．
(1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)=f(x)-x+1既有一个极小值又有一个极大值，求a的取值范围；
(3)若存在b∈(1,2)，使得当x∈(0,b]时，f(x)的值域是[f(b),+∞)，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为(-1x)'=1x2，故选项A错误；
因为(x3+1)'=3x2，故选项B错误；
因为(lg2x)'=1xln2，故选项C正确；
因为(csx)'=-sinx，故选项D错误．
故选：C．
利用常见函数的求导公式对四个选项逐一判断即可．
本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握常见函数的求导公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：|OP|=5，由三角函数的定义得sinα=25=255，
故选：B．
由点坐标求出OP长，由任意角的三角函数定义求出sinα
本题考查任意角的三角函数的计算，属容易题
3.【答案】B
【解析】解：∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
∴a0+a2+a4=C44+C42⋅22+C40⋅24=1+24+16=41，
故选：B．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出a0和a2，以及a4的值，可得结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：把y=2sin(3x+π5)图象上所有的点向右平移π15各单位可得y=2sin[3(x-π15)+π5]=2sin3x的图象．
故选：D．
由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可知，x-=0+1+3+44=2，
y-=m+3.3+4.8+5.74=m+14.84，
则样本中心(2,m+13.84)在回归方程为y​=0.85x+2.1上，
所以m+13.84=0.85×2+2.1，
解得m=1.4．
故选：D．
先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，求解即可．
本题考查了线性回归方程的应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：在第一次抽到选择题的条件下，还剩下2道选择题和2道填空题，
再抽取一次，抽到填空题的概率为24=12，
则P(B|A)=12．
故选：A．
利用条件概率的定义，结合古典概型的概率公式求解即可．
本题考查了古典概型概率公式的应用，条件概率的定义的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意f(1)=b=-2，则f(x)=alnx-2x，
则f'(x)=ax+2x2=ax+2x2，
∵当x=1时函数取得最值，可得x=1也是函数的一个极值点，
∴f'(1)=a+2=0，即a=-2．
∴f'(x)=-2x+2x2，
易得函数在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
故x=1处，函数取得极大值，也是最大值，
则f'(2)=-2×2+222=-12．
故选：B．
由已知求得b，再由题意可得f'(1)=0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f'(2)．
本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22⋅A44=48种情况，
甲站在两端的情况有33C21AA22=24种情况，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种，
故选：B．
利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．
本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．
求函数f(x)=3x-x3导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间(a2-12,a)上有最小值，故最小值点的横坐标是集合(a2-12,a)的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围．
【解答】
解：由题 f'(x)=3-3x2，
令f'(x)>0解得-11，
由此得函数在(-∞,-1)上是减函数，在(-1,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数，
故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间(a2-12,a)上的最小值，
∴a2-12<-1又当x=2时，f(2)=-2，故有a≤2，
综上知a∈(-1,2]．
故选C．

10.【答案】27
【解析】解：(x2-3x)3的展开式的通项公式为Tr+1=C3r⋅(-3)r⋅x6-3r，
令6-3r=0，求得r=2，可得展开式中常数项是T3=C32×9=27，
故答案为：27．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
11.【答案】0.14
【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(2则P(X>2.5)=P(X>2)-P(2故答案为：0.14．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】12
【解析】解：∵随机变量ξ～B(n,p)，且Eξ=6，Dξ=3，
∴np=6，且np(1-p)=3，解得n=12，p=0.5．
故答案为：12．
根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，解方程组时和一般的解法不同，需要整体代入达到目的．
解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．
13.【答案】0.15
【解析】解：用事件A，B，C分别表示A，B，C三个品牌的饮料，M表示任意购买一瓶饮料中奖，
则Ω=A∪B∪C，且A，B，C两两互斥，
依题意P(A)=0.6，P(B)=0.3，P(C)=0.1，
P(M|A)=0.1，P(M|B)=0.2，P(M|C)=0.3，
由全概率公式得：
P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C)
=0.6×0.1+0.3×0.2+0.1×0.3=0.15，
∴该瓶饮料中奖的概率为0.15．
故答案为：0.15．
用事件A，B，C分别表示A，B，C三个品牌的饮料，M表示任意购买一瓶饮料中奖，再利用全概率公式能求出结果．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】2sin(2x-π3)
【解析】解：(1)由图象可知，A=2，周期T=43[5π12-(-π3)]=π，
∴2π|ω|=π，ω>0，则ω=2，
从而f(x)=2sin(2x+φ)，代入点(5π12,2)，
得sin(5π6+φ)=1，则5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=-π3+2kπ，k∈Z，
又-π<φ<0，则φ=-π3，
∴f(x)=2sin(2x-π3)，
故答案为：2sin(2x-π3).
由图象可知A=2，可求周期T，利用周期公式可求ω，从而可求f(x)=2sin(2x+φ)，代入点(5π12,2)，结合范围-π<φ<0，可求φ，即可得解解析式．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
15.【答案】27
【解析】解：①选2只船游玩，1号船坐2大人，1小孩有C32A22=6种；
1号船坐1大人，2小孩有C31=3种；
②选3只船游玩，每只船各坐1大人，1号船坐1小孩有A33A22=12种；
每只船各坐1大人，1号船坐2小孩有A33=6种；
由分类加法计数原理得不同的分乘方法种数是：6+3+12+6=27种．
故答案为：27．
根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合排列、组合列式计算作答．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=x2+1-lnx，求导得：f'(x)=2x-1x，则有f'(1)=1，而f(1)=2，
于是得y-2=1⋅(x-1)，即y=x+1，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y=x+1．
(Ⅱ)函数g(x)=x2-x+1-lnx，求导得：g'(x)=2x-1-1x=(2x+1)(x-1)x，
当120，
即函数g(x)在[12,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
所以当x=1时，g(x)min=g(1)=1．
【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答．
(Ⅱ)根据给定条件，利用导数探讨单调性，求出最小值作答．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值等知识，属于中等题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理知，b2=a2+c2-2accsB，
所以28=a2+4-2a⋅2⋅12，即a2-2a-24=0，
解得a=6或-4(舍负)，
所以a=6．
(Ⅱ)由正弦定理知，asinA=bsinB，所以6sinA=2732，
所以sinA=32114．
(Ⅲ)由余弦定理知，csA=b2+c2-a22bc=28+4-362×27×2=-714，
所以cs2A=2cs2A-1=-1314，sin2A=2sinAcsA=-3314，
所以sin(B-2A)=sinBcs2A-csBsin2A=32×(-1314)-12×(-3314)=-5314．
【解析】(Ⅰ)运用余弦定理，即可得解；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中所得与正弦定理，即可得解；
(Ⅲ)先利用余弦定理求出csA的值，再由二倍角公式，可得cs2A和sin2A的值，然后根据两角差的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由已知，有P(A)=C22C32+C32C32C84=635，
所以事件A发生的概率为635；
(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，
P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4)，
所以随机变量X的分布列为：
所以随机变量X的数学期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52．
【解析】(Ⅰ)由已知，有P(A)=C22C32+C32C32C84=635，所以事件A发生的概率为635；
(Ⅱ)根据超几何分布的概率公式求得概率，得分布列和期望．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．
19.【答案】解：(1)a=0时，函数f(x)=x-1-lnx，(x>0)，f'(x)=1-1x=x-1x，可得：f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)．
(2)g(x)=-a(x-1)2-lnx，则g'(x)=-2a(x-1)-1x=-2ax2-2ax+1x，
令h(x)=2ax2-2ax+1(x>0)，若函数g(x)有两个极值点，
则方程h(x)=0必有两个不等的正根，设两根为：x1，x2.于是2a≠0△=4a2-8a>0x1+x2=1x1x2=12a>0，解得a>2．
h(x)=0时有两个不相等的正实数根，不妨设x1g'(x)=-2a(x-x1)(x-x2)x=-h(x)x．
当00，g'(x)<0，g(x)在(0,x1)上为减函数；
当x10，g(x)在(x1,x2)上为增函数；
当x>x2时，h(x)>0，g'(x)<0，函数g(x)在(x2,+∞)上为减函数．
由此，x=x1是函数g(x)的极小值点，x=x2是函数g(x)的极大值点．符合题意．
综上，所求实数a的取值范围是(2,+∞)．
(3)f'(x)=1-2a(x-1)-1x=-(x-1)(2ax-1)x，
①当a≤0时，2ax-1x<0，
当0当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1,+∞)上为增函数．
所以，当x∈(0,b)(1②当a>0时，f'(x)=-2a(x-1)(x-12a)x，
(i)当12a<1，即a>12时，当x变化时，如下表格：
若满足题意，只需满足f(12a)>f(2)，即12a-1-a(12a-1)2-ln12a>1-a-ln2，
整理得14a+ln2a+ln2-1>0，令F(a)=14a+ln2a+ln2-1，(a>12).
当a>12时，F'(a)=1a-14a2=4a-14a2>0，∴F(a)在(12,+∞)上为增函数，
当a>12时，F(a)>F(12)=ln2-12>lne-12=0.可得：当a>12时，F(a)>F(12)恒成立．
故当a>12时，当x∈(0,b](112时，满足题意．
(ii)当12a=1，即a=12时，f'(x)=-(x-1)2x，当且仅当x=1时取等号，
所以f(x)在(0,+∞)上为减函数，从而f(x)在(0,b]上为减函数，符合题意；
(iii)当12a>1，即0若满足题意，只需满足f(2)即a>1-ln2，且a>14，
又1-ln2>14，所以a>1-ln2，此时，1-ln2综上，a>1-ln2，
所以，实数a的取值范围是(1-ln2,+∞)．
【解析】(1)a=0时，函数f(x)=x-1-lnx，(x>0)，f'(x)=1-1x=x-1x，可得：f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)．
(2)g(x)=-a(x-1)2-lnx，则g'(x)=-2a(x-1)-1x=-2ax2-2ax+1x，令h(x)=2ax2-2ax+1(x>0)，若函数g(x)有两个极值点，则方程h(x)=0必有两个不等的正根，设两根为：x1，x2.于是2a≠0△=4a2-8a>0x1+x2=1x1x2=12a>0，解得a.h(x)=0时有两个不相等的正实数根，不妨设x1(3)f'(x)=1-2a(x-1)-1x=-(x-1)(2ax-1)x，对a分类讨论，利用导数研究函数单调性值域即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
x
0
1
3
4
y
3.3
4.8
5.7
X
1
2
3
4
P
114
37
37
114
x
(0,12a)
12a
(12a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
x
(0,1)
1
(1,12a)
12a
(12a,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
减函数
极小值0
增函数
极大值
减函数