数学九年级上册第4章 锐角三角函数综合与测试单元测试课后作业题

湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，在中，，若，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，若，则下列选项正确的是．(    )

A.  B.    
C.  D.

4. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，已知和，则下列关系中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在矩形中，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，，，，则的长度为．(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度与河岸垂直，测量得，两点间距离为米，，则河宽的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点，变幅索的底端记为点，垂直地面，垂足为点，，垂足为点设，下列关系式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在中，，，，则          ．
14. 计算：______．
15. 如图，在菱形中，，垂足为，点、分别为、边的中点，连接交于点，若，，则的值为______．

16. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；量得测角仪的高度；量得测角仪到旗杆的水平距离利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在中，，，，求和的值．
18. 计算：．
19. 计算：；
    解不等式组：．
20. 计算：．
21. 如图，已知四边形为矩形，，，点在上，，将沿翻折到，连接．
    求的长；
    求的值．

22. 某市大力建设基站．如图，在坡度：的斜坡上有一建成的基站塔，在坡脚处测得塔顶的仰角为，沿坡面从处行走到达处，在处测得塔顶的仰角为点，，，均在同一平面内；参考数据：，，
    求处的竖直高度；
    求基站塔的高度．

23. 年在北京举办第届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由，两部分组成，，的长度都为米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由点滑到点若与水平面的夹角为，与水平面的夹角为，求他下降的高度．

24. 某小区准备购入一架滑梯供小区儿童使用，物业选定了左图的滑梯，但受小区儿童区域场地的限制，需知晓滑梯的水平长度．滑梯的截面如右图所示，已知梯子长度为，坡度为，顶台，且长度为，滑坡的坡度：，滑梯的缓冲长度为，求滑梯的水平长度结果精确到参考数据：，，
     

25. 在四边形中，和的平分线、交于边上的点且，．
    
    求证：四边形是平行四边形；
    连，当四边形是矩形时，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图所示：，，
，
解得：．
故选：．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确画出直角三角形是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，
，
，


．
故选：．
根据题意，先求出，再利用勾股定理求出．
本题考查了锐角三角函数，涉及勾股定理，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的增减性，属于基础题，比较简单．
【解答】
解：，，
故、是锐角，，
，
，，，，，
故，，，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：作，
，，
，
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义直接得出等于，再求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
，
，
故选：．
由勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】略
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，过点作，连接，

，
，
设小正方形的边长为，
根据勾股定理可得，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
夹角的正弦值为．
故选：．
如图，设与交于点，过点作，连接，可得，设小正方形的边长为，然后根据勾股定理及逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，根据题意作适当辅助线构造出直角三角形是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数和解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解决本题的关键．
【解答】
在中，，，
，
所以，
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
在中，米，，
米，
河宽的长度是米，
故选：．
根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
根据斜面坡度为，，得出，利用勾股定理即可得出结果．
【解答】
解：过点作垂直于，

斜面坡度为，，
，
则．
故选B．  

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，由锐角三角函数的定义可知，
，
故选：．
根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．
 

13.【答案】 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】解：原式


，
故答案为：．
利用二次根式的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，和零指数幂的意义，正确利用上述法则与性质进行运算是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于，连接，交于点，

点、分别为、边的中点，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：．
由三角形中位线定理可得，，，由菱形的性质和勾股定理可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交于点，

则，，，
在中，，
，
，
旗杆的高度可表示为：，
故答案为：
延长交于点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：，，，
 ．
，
． 

【解析】见答案
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
 

19.【答案】解：


；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

21.【答案】解：，
，
根据翻折可得：，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
解得：，
在中，．
过点作交于点，
设，则，
，，
，
即：，
解得：，
，
． 

【解析】根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可；
根据锐角三角函数的定义，利用勾股定理解答即可．
本题主要考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握这些性质特点是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：延长与水平线交于点，过点作于点，于点，

斜坡的坡度为：，
，
设，则，
在中，，
由勾股定理得，，
解得，
，，
处的竖直高度为．
斜坡的坡度为：，
设，则，
，
，
，
在中，，
解得，
，，

基站塔的高度约为 

【解析】延长与水平线交于点，过点作于点，于点，由题意得，设，则，在中，，由勾股定理得，解得，即可得出答案．
设，则，则，，在中，，解得，则，，由可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，，
米．
在中，，
米，
则米，
答：他下降的高度约为米． 

【解析】直接构建直角三角形，利用锐角三角函数关系分别得出，的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

24.【答案】解：作于，于，则四边形为矩形，
则，，
在中，，，
，
，
在中，：，即，
，
又，
，
答：的长度约为． 

【解析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出，，的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

25.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：四边形是矩形，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
≌，
设，
，
在中，．
故答案为：． 

【解析】根据平行四边形的判定定理解答即可；
根据全等三角形的判定和锐角三角函数解答即可．
本题主要考查了平行四边形的判定定理和锐角三角函数，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．