初中数学湘教版九年级上册第3章 图形的相似综合与测试单元测试课后作业题

湘教版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

2. 若，则下列等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 九章算术之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十”粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米”问题：有斗的粟斗升，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为(    )

A. 升 B. 升 C. 升 D. 升

4. 如图，已知，那么下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点、、，与相交于点，且，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，分别将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

7. 下列图形中不一定相似的是(    )

A. 两个矩形 B. 两个圆 C. 两个正方形 D. 两个等边三角形

8. 如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在正方形和直角中，、、三点共线，，，，连接，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. “跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
    步骤：
    第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
    第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
    第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
    第四步：将横向距离乘以人的手臂长度与眼距的比值一般为，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
    如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为米，则汽车到观测点的距离约为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11. 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12. 如图，中，，以原点为位似中心，将缩小后得到，若，的面积为，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若，则的值是_________．
14. 如图，在中，，分别是，上的点，且若，，，则的值为______．

15. 如图是用卡钳测量容器内径的示意图．若卡钳上，两端点的距离为，，则容器的内径的长为__________  

16. 已知与是位似图形且与的周长比为：，则与的面积比为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知，求的值．
18. 已知线段，点为线段的黄金分割点，则______．
19. 已知如图：，求证：．
    
     

20. 已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点，求的值．

21. 如图，图形中，哪些与图形或相似？

22. 如图，，在线段上求作一点，使∽不写作法，保留作图痕迹

23. 如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线于点．
    求证：．
    如图，连接交于，连接，若，求证：∽．
     

24. 如图，在中，，点在上．在线段上求作一点，使∽保留作图痕迹，不写作法

25. 小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到塔尖，再测得，小豪目高，求塔的高度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一对选项一一分析，排除错误答案即可．
【解答】
解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．
【解答】
解：因为，所以，故此选项不符合题意；
B.因为，所以，故此选项不符合题意；
C.因为，所以，故此选项不符合题意；
D.因为，所以，故此选项符合题意．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的性质，本题首先要弄清题意，正确列比例式是本题的关键．
先将单位换成升，根据：“单位的粟，可换得单位的粝米”列式可得结论．
【解答】
解：根据题意得：斗升，
设可以换得的粝米为升，
则，
解得：，
答：有斗的粟斗升，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为升．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】，
，
故选A．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
求出，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：矩形对应边向外平移个单位后，对应边的比值不一定相等，
变化前后的两个矩形不相似，
三角形，菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
变化前后的两个三角形、菱形、两个正方形相似，
故选：．
利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
B.所有的圆，一定相似，故本选项不合题意；
C.所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
D.所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．
故选：．
对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出是解题的关键．
由可得出∽，利用相似三角形的性质可得出，结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：，
∽，
，
．
，即，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是正方形，
，，，
，，
，、、三点共线，
，
，
、、三点共线，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据正方形的性质可得，，，从而可得，，进而可得，，即可证明∽，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可求出，从而求出的长．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的倍，
汽车的长度大约为米，
横向距离大约是米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
汽车到观测点的距离约为米，
故选：．
根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．
本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意知：，
∽，
，
，
解得，
水面以上深度为米．
故选：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将缩小后得到，，，
与的位似比为：，
与的面积比为：，
的面积为，
的面积为，
故选：．
根据点、的坐标求出与的位似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
根据比例的基本性质进行计算即可．
【解答】
解：
  

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得；，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的应用．熟记“相似三角形的对应边成比例”是解决问题的关键．
依题意得∽，根据相似三角形的对应边成比例即可求得的长度．
【解答】
解：连接，，
，，
∽，
，
又，
，
．  

16.【答案】： 

【解析】解：与是位似图形且与的周长比为：，
与相似比为：，
与的面积比为：：．
故答案为：：．
根据相似三角形的周长比的等于相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比与相似比的关系是解题的关键．
 

17.【答案】解：令也可直接等于，
则，，．
． 

【解析】令也可直接等于，则，，代入所求的代数式后，通过约分求值即可．
考查了比例的性质，注意题中参数的使用方法．
 

18.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，，
，
则，
，
故答案为：．
根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
 

19.【答案】证明：，
，
，即． 

【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题关键首先根据平行线分线段成比例定理得出，进而即可得出结论．
 

20.【答案】解：过点作交于，
则，，
． 

【解析】过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到则，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：与相似，与相似． 

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：如图所示，点即为所求．
 

【解析】过点作即可得．
本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及过直线外一点做已知直线的垂线的尺规作图．
 

23.【答案】证明：四边形菱形，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
∽． 

【解析】根据菱形的性质，首先利用证明≌，得，，再说明∽，得，即可证明结论；
根据菱形的性质可说明，从而证明结论．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：如图．
 

【解析】由，可得，再作即可．
本题考查作图相似变换、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法．
 

25.【答案】解：由题意知，，
∽．
，
，
米．
故塔的高度为米． 

【解析】如图容易知道，，即由光的反射原理可知，这样可以得到∽，然后利用对应边成比例就可以求出．
考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．