初中第12章 一次函数12.2 一次函数第2课时教案

12.2一次函数

第2课时一次函数的图象和性质

教学目标

【知识与能力】

1．理解和掌握一次函数解析式的特点及意义，掌握一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的性质，能根据k与b的值说出函数的有关性质；

2．会用描点法和平移的方法画一次函数图象，理解和掌握截距的概念。

【过程与方法】

利用数形结合的思想，分析一次函数与正比例函数的联系及一次函数的性质。

【情感态度价值观】

利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力；通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法的多样性，感受事物之间普通性与特殊性的关系。

教学重难点

【教学重点】

一次函数图象的画法。

【教学难点】

根据一次函数的图象特征理解一次函数的性质。

课前准备

课件、教具、方格纸等。

教学过程

一、情境导入

问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系．当向上登高0.5km时，他们所在位置气温为多少？

分析：从大本营向上登高，当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃.因此y与x的函数关系式为y＝15－6x(x≥0)．当然，这个函数也可表示为y＝－6x＋15(x≥0)．

当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置气温就是x＝0.5时函数y＝－6x＋15的值，即y＝－6×0.5＋15＝12(℃)．

这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．

二、合作探究

探究点一：一次函数的图象

【类型一】画一次函数的图象

例1   作出一次函数y＝x＋1的图象，并根据图象回答下列问题：

(1)当x＝3时，y＝________；当y＝－时，x＝________；

(2)图象与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________；

(3)当y>0时，x________．

解析：作y＝x＋1的图象，取(0，1)，(－2，0)两点，已知x代入解析式求y，已知y代入解析式求x.列表如下：

描点、连线，y＝x＋1的图象如下图：

(1)当x＝3时，y＝2.5；当y＝－时，x＝－5；

(2)图象与x轴的交点坐标是(－2，0)，与y轴的交点坐标是(0，1)；

(3)当y>0时，x>－2.

方法总结：一次函数的图象y＝kx＋b是与坐标轴相交的直线，只需描出点(0，b)，(－，0)就可以作出图象．

【类型二】一次函数图象的平移

例2  (1)将正比例函数y＝－6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是________(写出一个即可)．

(2)将直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数表达式为(　　)

A．y＝2x－1  B．y＝2x－2

C．y＝2x＋1  D．y＝2x＋2

解析：(1)y＝－6x的图象向上平移可得到y＝－6x＋b(b>0)，例如y＝－6x＋1(答案不唯一)；(2)y＝2x的图象向右平移1个单位后所得图象对应的函数表达式为y＝2(x－1)，即y＝2x－2.故选B.

方法总结：(1)上下平移：一次函数y＝kx＋b的图象可以看作由直线y＝kx沿y轴平移|b|个单位长度得到的(当b＞0，向上平移；当b＜0，向下平移)；(2)左右平移：直线y＝kx＋b向左平移m(m>0)个单位得到直线y＝k(x＋m)＋b，向右平移m(m>0)个单位长度得到直线y＝k(x－m)＋b.

探究点二：一次函数的性质

【类型一】一次函数图象的性质

例3  已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)．

(1)m为何值时，y随x的增大而减小？

(2)m、n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？

(3)m、n为何值时，函数图象过原点？

解析：(1)因为k<0时，y随x的增大而减小，故6＋3m<0；(2)要使直线与y轴的交点在x轴的下方，必有6＋3m≠0，同时n－4<0；(3)直线过原点是正比例函数的特征，即6＋3m≠0且n－4＝0.

解：(1)依题意，得6＋3m<0，即m<－2.故当m<－2时，y随x的增大而减小；

(2)依题意，得解得n<4且m≠－2.故当m≠－2且n<4时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；

(3)依题意，得解得n＝4且m≠－2.故当m≠－2且n＝4时，函数图象过原点．

方法总结：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，k的符号决定直线上升或下降，b的符号决定直线与y轴的交点位置，在考虑b的值时，同时要考虑k≠0这一隐含条件，在利用一次函数的性质解决问题时，常常结合方程和不等式求解．

【类型二】一次函数y＝kx＋b中k、b符号的确定

例4  两个一次函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是(　　)

解析：解此类题应根据k，b的符号从而确定y＝kx＋b图象的位置或根据图象确定k，b的符号．A选项中，由y1的图象知a>0，b<0，则y2的图象应过第一、二、四象限，故A错，C对；B选项中，由y1的图象知a>0，b>0，则y2的图象应过第一、二、三象限，故B错；D选项中，由y1的图象知a<0，b>0，则y2的图象应过第一、三、四象限，故D错．故选C.

方法总结：对于两种不同函数的图象共存同一坐标系问题，一般常假设某一图象正确，然后根据相同字母系数的符号的不变性，来判定另一图象是否正确，进而解决问题．

三、板书设计

教学反思

经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略，在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想，通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力．