数学八年级上册第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明第3课时教案

13.2命题与证明

第3课时三角形内角和定理的证明及推论1，2

教学目标

【知识与能力】

1、通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程。

 2、能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来。

【过程与方法】

经历具体的几何命题的文字语言翻译成图形语言和符号语言的过程，学会将文字语言用图形语言和符号语言来表示的方法。

【情感态度价值观】

通过学习几何证明，初步感受推理的严密性、条理性。

教学重难点

【教学重点】

根据具体的证明过程，填写推理的理由。

【教学难点】

将文字语言表述的证明题改写成图形语言和符号语言表述的证明题。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看．

三角形的内角和是否为180°？

从拼角的过程你能想出证明的办法吗？

二、合作探究

探究点一：三角形内角和定理的证明

例1  如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．

(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；

(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.

解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得．

解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.

理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；

(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.

方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．

探究点二：直角三角形的两锐角互余

例2  直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．

解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝(∠ABC＋∠BAC)，然后利用三角形的内角和等于180°求出∠AOB，即为两角平分线的夹角．

如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，∴∠OAB＋∠OBA＝(∠ABC＋∠BAC)＝45°，∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝135°，∴∠AOE＝45°，∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°.故答案为45°或135°.

方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．

探究点三：有两个角互余的三角形是直角三角形

例3  如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？

解析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.

解：△AHC是直角三角形．理由如下：

因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.

又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，

所以∠1＝∠BAC，∠2＝∠DCA，

所以∠1＋∠2＝(∠BAC＋∠DCA)，

所以∠1＋∠2＝90°，

所以△AHC为直角三角形．

方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．

三、板书设计

教学反思

教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中行舟的桨，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功并体验成功的喜悦．在课堂中，放手让学生自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握证明的各种方法．课堂中，营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展。