2022年浙江省湖州市长兴县、余杭、缙云三校高考数学联考试卷（5月份）（含答案解析）

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2022年浙江省湖州市长兴县、余杭、缙云三校高考数学联考试卷（5月份） 设全集，集合，则A.  B.  C.  D. 已知，若复数，复数z的实部是4，则z的虚部是A.  B.  C. 2i D. 2如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高

 A. 1 B.  C.  D. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为A. 2 B. 3 C. 5 D. 6已知a，b为非零实数，下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A.  B.  C.  D. 已知函数的图像如图所示，则实数a的值可能是
 
A.  B.  C.  D. 2如图，已知四边形ABCD，是以BD为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线BD翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是
 A.
B. DP与BC可能垂直
C. 直线DP与平面BCD所成角的最大值是
D. 四面体PBCD的体积的最大是已知，，定义，则的最小值是A. 5 B. 6 C. 8 D. 1已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，点P是双曲线C左支上一点，满足，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆：内切，与圆：外切，其中，则双曲线C的离心率为A. 2 B.  C.  D. 已知数列的各项都是正数，记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：
①若数列各项单调递增，则首项；
②若数列各项单调递减，则首项；
③若数列各项单调递增，当时，；
④若数列各项单调递增，当时，
则以下说法正确的个数A. 4 B. 3 C. 2 D. 1若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为______.若函数，则______，不等式的解集是______.若，则______，______.一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为______；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为______.在中，，D是线段BC上一点，且，则______，AD的长为______.设，，若存在，，使得，则称函数与互为“n度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为______.已知平面向量满足，若，则的最小值是______.已知函数的部分图像如图所示．
求的解析式；
在锐角中，若边，且，求周长的最大值．

  已知四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，是斜边为AP的等腰直角三角形．
若时，求证：平面平面ABCD；
若时，求直线PD与平面ABCD所成的角的正弦值．

  已知数列满足为实数，且，，，，且，，成等差数列．
求q的值和的通项公式；
设，记数列的前n项和为，若对任意的，满足，试求实数的取值范围．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，设是第一象限内椭圆C上的一点，、的延长线分别交椭圆C于点、当时，的面积为
求椭圆C的方程；
分别记和的面积为和，求的最大值．已知函数为自然对数的底数
令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
令，若函数有两不同零点，
求实数m的取值范围；
证明：
答案和解析 1.【答案】A【解析】解：因为集合，
，
所以
故选：
化简集合P，根据交集的定义求出即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
 2.【答案】B【解析】解：的实部是4，
，解得，
的虚部是
故选：
结合复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查实部和虚部的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 3.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥；
如图所示：

所以，
解得：
故选：
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出几何体的高．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 4.【答案】A【解析】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：
当直线经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得，
所以的最小值为
故选：
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．
本题考查线性规划的简单应用，是基础题．
 5.【答案】D【解析】解：A，当，满足，是成立的必要不充分条件，错误，
B，当，时，满足，但不成立，错误，
C，是R上的增函数，，是充要条件，错误，
D，由，反之若，，满足，但不成立，正确，
故选：
根据不等式的性质，指对函数的性质，再结合充分而不必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，不等式的性质，指数函数，对数函数的性质，属于中档题．
 6.【答案】C【解析】解：由图像可得且且，
即将这三个量代人表达式分母为0，
即且且，
解得，
即，
故选：
由函数图像中的渐近线即可求得．
本题考查了函数的定义域，对称性，渐近线，是基础题．
 7.【答案】C【解析】解：如图所示，取BD的中点M，连接PM，CM，

是以BD为斜边的等腰直角三角形，，
为等边三角形，，
面PMC，，故A正确；
对于B，假设，又，
面PCD，，
又，故DP与BC可能垂直，故B正确；
当面面BCD时，此时面BCD，即为直线DP与平面BCD所成角，
此时，故C错误；
当面面BCD时，此时四面体PBCD的体积最大，此时的体积为：，
故D正确．
故选：
对于A，取BD的中点M，即可得到面PMC，A选项可判断；
对于B，采用反证法，假设，则面PCD，再根据题目所给的长度即可判断；
对于C，当面面BCD时，此时直线DP与平面BCD所成角有最大值，判断即可；
对于D，当面面BCD时，此时四面体PBCD的体积有最大值，计算最大体积判断即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 8.【答案】A【解析】解：由题意，，
，
则
，当且仅当，即时等号成立．
的最小值是
故选：
由题意，，，再由不等式的性质结合基本不等式求最值即可．
本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
 9.【答案】C【解析】解：由题意可得圆的方程可得圆心的坐标，半径为3a，
由圆的方程可得圆心，半径为a，
再由圆P与圆内切，可得，与圆外切可得，
可得，
由双曲线的定义及P在双曲线的左支上，可得，
可得，，
在中，，由余弦定理可得，
可得，
解得：离心率，
故选：
由题意可得圆，的圆心坐标及半径的值，再由圆P与与圆外切，与圆内切，可得的值，再由P在双曲线的左支上，可得的值，进而求出，的值，在中，由余弦定理可得a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质的应用及圆与圆内切，外切的性质的应用，余弦定理的应用，属于中档题．
 10.【答案】B【解析】解：对于①，若数列各项单调递增，则，解得，
，

又，则，①正确；
对于②，若数列各项单调递减，则，解得，
，
，②正确；
由于，则，即，
又，
……

，
对于③，若数列各项单调递增，当时，由于，则，
，③错误；
对于④，若数列各项单调递增，当时，由于，则，
，④正确．
故选：
对于①②，根据题意及数列的单调性列式可求得的范围，进而得到的范围；对于③④，先分析可得，则，再根据单调性及首项的范围进行判断即可．
本题考查数列性质及数列递推关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 11.【答案】【解析】解：，
该三角形的面积
故答案为：
将三边长分别代入“秦九韶-海伦公式”能求出结果．
本题考查三角形面积的求法，考查“秦九韶-海伦公式”等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 12.【答案】【解析】解：函数，，则
由不等式，结合的解析式，可得或，
求得或，
故答案为：3；
由题意，利用分段函数，先求出的值，可得要求式子的值；根据函数解析式，分类讨论求得不等式的解集．
本题主要考查分段函数的应用，解不等式，属于基础题．
 13.【答案】【解析】解：若，则，
再令，可得，
，
故答案为：32；
先求出的值，再令，可得要求式子的值．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率，
由题意，的可能值为0，1，2，
则，
所以
故答案为：
应用古典概型的概率求法求概率，写出的可能值并求出对应概率，进而求随机变量的期望．
本题考查了古典概型的概率和随机变量的期望计算，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：在中，由正弦定理有，，即，
；
在中，由余弦定理有，，解得或，
若，则，不合题意，故，
，
又，则，解得，

故答案为：，
利用正弦定理及二倍角公式可求得，利用余弦定理可求得AB及，再利用勾股定理得到
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 16.【答案】【解析】解：由与互为“1度零点函数”，
可得：，解得，由，解得，
设其解为，与互为“1度零点函数”，
，解得，，，
设，则，
当时，，是增函数，当时，，是减函数，
，，，实数a的取值范围为
故答案为：
利用已知条件，结合新定义，推出a的表达式，构造函数，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．
本题考查函数导数的应用，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 17.【答案】【解析】解：设，，，，
由，根据三角不等式有：
，
得，
所以

故答案为：
利用绝对值三角不等式，及三角函数的有界性可进行化简分析．
本题考查平面向量的数量积的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 18.【答案】解：根据函数的部分图像，可得，
，又，所以
结合五点法作图，可得，求得，
故的解析式为
在锐角中，由，得，及，故，
因为为锐角三角形，且，故，
由正弦定理，得，


又，故
故周长的最大值为【解析】由顶点坐标求出A，由周期求出，由五点作图求出，可得函数的解析式．
先求得角A的值，结合B的范围，利用正弦定理、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求得周长的最大值．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A，由周期求出，由五点作图求出，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
 19.【答案】证明：因，则有，即有，
又，且，AB，平面ABCD，
于是得平面ABCD，而平面PBC，
所以平面平面ABCD；
解：在平面ABCD内，过B作直线垂直于AB，交直线CD于E，有，，如图，

则为二面角的平面角，平面EBP，，于是得，
中，，则，
在中，，
由余弦定理得，则有，
显然平面平面EBP，在平面EBP内过B作，则平面ABP，
以B为原点，分别以射线BA，BP，Bz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面ABCD的法向量，则，令，得，
而，设PD与平面ABCD所成的角为，
，
所以PD与平面ABCD所成的角的正弦值为【解析】根据给定条件，证明，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答．
作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
 20.【答案】解：由己知，有，
即，，
又，由，得，则，
当时，，
当时，，
故数列的通项公式为；
由得，
设数列的前n项和为，
则，
可得，
两式相减得，，
整理得，数列的前n项和为
代入，
得，
即，又，
，解得
实数的取值范围是【解析】由己知可得，再由，得，即可求解q，然后分当和，求解数列的通项公式；
由得，设数列的前n项和为，利用错位相减法求数列的前n项和．代入，利用数列的函数特性即可求实数的取值范围．
本题考查数列递推式，考查等差数列定义的应用，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．
 21.【答案】解：设，，由椭圆的定义可得：，
的面积为，解得：，
在中，，由余弦定理，即，
所以，则，
所以椭圆C的方程为：；
设点P的坐标为，、，
则直线的方程为，
联立，整理可得：，
所以，可得，
同理可求得，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为【解析】设，，由椭圆的定义及的面积可得的值，再由余弦定理可得a的值，进而求出b的值，求出椭圆的方程；
设P的坐标，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得的坐标，同理可得的坐标，代入三角形的面积公式可得表达式，整理，由均值不等式可得其最大值．
本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
 22.【答案】解：由题设，，则，
所以为偶函数，故只需时，恒成立，而满足，
所以有恒成立，令，则，
若，则，仅当时等号成立，
所以，即在上递增，则，即，
所以，在上，则，
综上， a的范围为
由题设，，若得：，
故在单调减，在单调增，
且x趋向负无穷趋向于0，x趋向正无穷趋向于正无穷，
又，，则时，；时，，
要使有两个不同解，且，则；
证明：由知时，，则；
记且，则，
所以上，上，
故在上递减，上递增，且，
所以也有两根，记为，
又上，则，
令，则为的两根，故，，
所以，而，
所以【解析】根据为偶函数，将问题转化为时恒成立，根据及参变分离求有恒成立，求参数范围；
利用导数研究的单调性，及区间值域情况，进而判断有两不同解时 m的范围即可；
由知时，且，应用放缩法有，构造研究极值并判断的两根与，大小关系，得到即可证结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用综合法证明不等式，函数的零点和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属难题．