数学人教版第十二章 全等三角形综合与测试当堂达标检测题

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专题训练　全等三角形1.[2020·安顺] 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为              (　　)A.无法确定          B.                   C.1            D.2          2.[2020·鄂州] 如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.有下列结论:①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确结论的个数为              (　　)A.4                 B.3                 C.2                 D.13.[2020·齐齐哈尔] 如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是　　　　　　.(只填一个即可) 4.[2020·鞍山] 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.求证:CB=CD.  5.[2019·温州] 如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.    6.[2020·大同浑源县期中] 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在△ABC的外部,且AD⊥CD,BE⊥CD,垂足分别为D,E.(1)求证:△BEC≌△CDA;(2)若AD=1.7 cm,DE=2.5 cm,求BE的长度.   7.[2019·禹州期中] 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD,BE为△ABC的角平分线,连接DE.求证:点E到DA,DC的距离相等.    8.[2020·福州闽侯县期中] 如图①,在△ABC中,∠BCA=90°,BC=AC,D为AC的中点,分别过点D,A作BD,BA的垂线交于点E,试探究BD与DE的数量关系.小琳解题时发现,过点D作DF∥AB,交BC于点F,通过构造△BFD和△DAE全等,经过推理论证,能够得到DB=DE.当D是线段AC上任意一点时(不与点A,C重合),其他条件不变,如图图②,请你参考小琳的证法,探究DB=DE是否成立,并证明你的结论.           9.[2019·安顺改编] (1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点.若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的数量关系(提示:在△ABC中,若∠B=∠C,则可以得到AB=AC).解决此问题可以用如图下方法:如图图①,延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,则AB=FC,从而把AB,AD,DC转化到一个三角形中,由此得出AB,AD,DC之间的数量关系为　　　　　　　　; (2)问题探究:如图图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点.若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论.   
答案1.C2.B　 ∵∠AOB=∠COD=36°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(SAS).∴∠OAC=∠OBD,∠OCA=∠ODB,AC=BD,故②正确.∵∠OAC=∠OBD,由三角形的外角性质,得∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB,∴∠AMB=∠AOB=36°,故①正确.过点O作OG⊥AM于点G,OH⊥DM于点H,如图图所示,则∠OGA=∠OHB=90°.∵△AOC≌△BOD,∴S△AOC=S△BOD.∴AC·OG=BD·OH.又∵AC=BD,∴OG=OH,∴MO平分∠AMD,故④正确.假设OM平分∠AOD,则∠DOM=∠AOM.在△AMO与△DMO中,∴△AMO≌△DMO(ASA).∴AO=DO.∵OC=OD,∴OA=OC.而OA<OC,故③错误.正确的结论个数为3.故选B.3.答案不唯一,如图AD=AC4.证明:如图图,连接AC.在△AEC与△AFC中,∴△AEC≌△AFC(SSS).∴∠CAE=∠CAF.∵∠B=∠D=90°,∴CD⊥AD,CB⊥AB.∴CB=CD.5.解:(1)证明:∵CF∥AB,∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.在△BDE和△CDF中,∴△BDE≌△CDF(AAS).(2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2.∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(SAS).∴AC=AB=3.6.解:(1)证明:∵AD⊥CD,BE⊥CD,∴∠BEC=∠D=90°.∴∠CAD+∠ACD=90°.∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=90°,∴∠BCE=∠CAD.在△BEC和△CDA中,∴△BEC≌△CDA(AAS).(2)∵△BEC≌△CDA,∴CE=AD,BE=CD.∵AD=1.7 cm,DE=2.5 cm,∴BE=CD=CE+DE=AD+DE=1.7+2.5=4.2(cm).7.证明:如图图,过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H,EF⊥BC于点F,EG⊥AD于点G.∵AD平分∠BAC,∠BAC=120°,∴∠BAD=∠CAD=60°.∵∠CAH=180°-120°=60°,∴∠CAH=∠CAD,即AE平分∠HAD.∵EH⊥AH,EG⊥AD,∴EH=EG.∵BE平分∠ABC,EH⊥AB,EF⊥BC,∴EH=EF.∴EF=EG.∴点E到DA,DC的距离相等.8.解:DB=DE成立.证明:如图图,过点D作DH∥AB交BC于点H.∵∠BCA=90°,BC=AC,∴∠CAB=∠CBA=45°.又∵BA⊥AE,∴∠DAE=135°.∵DH∥AB,∴∠CHD=∠CBA=45°.∴CH=CD,∠BHD=135°.∴∠BHD=∠DAE.∵BC=AC,∴BC-CH=AC-CD,即BH=DA.∵∠C=∠BDE=90°,∴∠CDB+∠DBH=90°,∠EDA+∠CDB=90°.∴∠DBH=∠EDA.在△BDH和△DEA中,∴△BDH≌△DEA(ASA).∴DB=DE.9.解:(1)AD=AB+DC(2)AB=AF+CF.证明:如图图,延长AE交DF的延长线于点G.∵E是BC的中点,∴CE=BE.∵AB∥CD,∴∠BAE=∠G.在△ABE和△GCE中,∴△ABE≌△GCE(AAS).∴AB=GC.∵AE是∠BAF的平分线,∴∠BAE=∠FAE.又∵∠BAE=∠G,∴∠FAE=∠G.∴AF=FG.∵GC=CF+FG,∴AB=AF+CF.