高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆精品课时练习

这是一份高中人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆精品课时练习，共7页。

1．已知点A(－3，0)，B(0，2)在椭圆 eq \f(x2,m2) ＋ eq \f(y2,n2) ＝1上，则椭圆的标准方程为( )
A． eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 B． eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,4) ＝1
C． eq \f(x2,3) ＋y2＝1 D． eq \f(x2,5) ＋ eq \f(y2,4) ＝1
B [由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(9,m2)＝1，,\f(4,n2)＝1，)) 解得m2＝9，n2＝4，所以椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,4) ＝1.]
2．若椭圆 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,m2) ＝1(m＞0)的一个焦点坐标为(1，0)，则m的值为( )
A．5 B．3 C． eq \r(5) D． eq \r(3)
D [根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，则有4－m2＝1，解得m＝± eq \r(3) .又m＞0，则m＝ eq \r(3) .]
3．(多选题)下列m的取值，能够使方程 eq \f(x2,|m|－1) ＋ eq \f(y2,2－m) ＝1表示焦点在y轴上的椭圆的是( )
A．m＝－2 B．m＝0
C．m＝－3 D．m＝ eq \f(5,4)
ACD [若方程 eq \f(x2,|m|－1) ＋ eq \f(y2,2－m) ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|m|－1>0，,2－m>0，,|m|－1<2－m，)) 解得m<－1或14．已知焦点在y轴上的椭圆 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,a) ＝1(a>0)的焦距为4 eq \r(3) ，则a＝( )
A．8 B．12 C．16 D．52
C [由题意得2 eq \r(a－4) ＝4 eq \r(3) ，解得a＝16.]
5．命题p：方程 eq \f(x2,5－m) ＋ eq \f(y2,m－1) ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是( )
A．3C．11
B [若方程 eq \f(x2,5－m) ＋ eq \f(y2,m－1) ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m－1>5－m>0，解得36．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋ eq \f(9,a) (a>0)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
D [∵|PF1|＋|PF2|＝a＋ eq \f(9,a) ≥2 eq \r(a·\f(9,a)) ＝6＝|F1F2|，当|PF1|＋|PF2|>|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2.]
7．椭圆5x2＋6y2＝30的焦点坐标为( )
A．(－3，0)，(3，0) B．(0，－3)，(0，3)
C．(－1，0)，(1，0) D．(0，－1)，(0，1)
C [根据题意，椭圆5x2＋6y2＝30的标准方程为 eq \f(x2,6) ＋ eq \f(y2,5) ＝1，其中a＝ eq \r(6) ，b＝ eq \r(5) ，且其焦点在x轴上，则c＝ eq \r(6－5) ＝1，则椭圆的焦点坐标为(－1，0)，(1，0).]
8．已知椭圆 eq \f(x2,12) ＋ eq \f(y2,3) ＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
A [由已知，不妨设F1(－3，0)，F2(3，0)，
由条件知，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，±\f(\r(3),2))) ，即|PF2|＝ eq \f(\r(3),2) .
由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 eq \r(3) .
所以|PF1|＝ eq \f(7\r(3),2) .所以|PF1|＝7|PF2|.]
9．(多空题)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________________；其焦点坐标为____________．
eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1 (±1，0) [由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋c＝3，,a－c＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝1，)) 则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，焦点坐标为(±1，0).]
10．如图所示，已知椭圆的方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解 由已知a＝2，b＝ eq \r(3) ，
得c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(4－3) ＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cs 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
②代入①解得|PF1|＝ eq \f(6,5) .
所以S△PF1F2＝ eq \f(1,2) |PF1||F1F2|·sin 120°＝ eq \f(1,2) × eq \f(6,5) ×2× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3\r(3),5) ，即△PF1F2的面积是 eq \f(3\r(3),5) .
11．若椭圆 eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,9) ＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )
A．9 B．12 C．15 D．18
A [方法一 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝8，知r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝ eq \f(1,2) r1r2＝9.
方法二 S△PF1F2＝b2tan eq \f(θ,2) ＝9×tan 45°＝9.]
12．若α∈(0， eq \f(π,2) )，方程x2sin α＋y2cs α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A．( eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) ) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
A [易知sin α≠0，cs α≠0，方程x2sin α＋y2cs α＝1可化为 eq \f(x2,\f(1,sin α)) ＋ eq \f(y2,\f(1,cs α)) ＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以 eq \f(1,cs α) > eq \f(1,sin α) >0，即sin α>cs α>0.又α∈(0， eq \f(π,2) )，所以 eq \f(π,4) <α< eq \f(π,2) .]
13．已知P是椭圆 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是__________________________________________．
(x＋1)2＋y2＝16 [如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0).
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝ eq \r(3) ，
c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(4－3) ＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1，0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.]
14．已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2．若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
3 [依题意，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|·|PF2|＝18，,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，))
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.]
15．已知点A(－ eq \f(1,2) ，0)，B是圆F：(x－ eq \f(1,2) ) 2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程．
解 如图所示，由题意知，
|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，
∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，
∴动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，
∴a＝1，c＝ eq \f(1,2) ，b2＝ eq \f(3,4) .
∴动点P的轨迹方程为x2＋ eq \f(y2,\f(3,4)) ＝1，即x2＋ eq \f(4,3) y2＝1.