培优课　集合中的新定义问题

1.集合的创新题，其创新性主要体现在新定义与新运算上.通过给出一个新概念或约定一种新运算或给出几个新的模型等，创设一种全新的问题情境，以达到考查学生独立获取信息、加工信息的能力的目的.

2.解题策略

(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型集合问题的关键所在.

(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.

(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交、并与补运算.

类型一　新定义集合的概念

例1　设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.若M＝{2，3，6}，则∁UM表示的6位字符串为________.

答案　100110

解析　因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，6}，

所以∁UM＝{1，4，5}，{1，4，5}表示第1个字符为1，第4个字符为1，第5个字符为1，其余均为0的6位字符串100110，

即∁UM表示的6位字符串为100110.

类型二　新定义集合的性质

例2　若集合A具有以下性质：

(1)0∈A，1∈A；

(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A为“好集”；下列命题正确的个数是(　　)

①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

A.0   B.1 

C.2   D.3

答案　C

解析　①中，∵B＝{－1，0，1}，当x＝－1，y＝1时，x－y∉A，故①错误；

②中，∵0∈Q，1∈Q，对任意的x，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以Q是“好集”，故②正确；

③中，∵A是“好集”，∴0∈A，若x，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，∴x－

(－y)∈A，即x＋y∈A，故③正确.故选C.

类型三　新定义集合的运算

例3　定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(　　)

答案　A

解析　如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.