【最新版】高中数学（新教材北师大版）必修第一册限时小练7　充要条件【教案+课件】

限时小练7　充要条件

1.(多选)下列结论中正确的是(　　)

A.“x2>4”是“x<－2”的必要不充分条件

B.在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件

C.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件

D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件

答案　ACD

解析　x<－2⇒x2>4，但x2>4⇔x>2或x<－2，不一定有x<－2，故A正确.AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B或C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误.a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确.当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确.

2.若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合的条件，用序号填空.

(1)“a，b都为0”的必要条件是________.

(2)“a，b都不为0”的充分条件是________.

(3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________.

答案　(1)①②③　(2)④　(3)①

解析　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，则a，b至少有一个为0，所以是“a，b都为0”的必要条件，也是“a，b至少有一个为0”的充要条件；

②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负，所以是“a，b都为0”的必要条件；

③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或

所以是“a，b都为0”的必要条件；

④ab>0⇔或则a，b都不为0.

3.已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}.

(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；

(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

解　因为P是非空集合，

所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.

(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4，或x>7}，Q＝{x|－2≤x≤5}，

所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}.

(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ，

即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，

即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.