培优课　一道基本不等式问题的“一题多解”

例题 已知正数a，b满足＋＝3，求a＋b的取值范围.

法一　“1”的整体代换

解　由＋＝3得＋＝1，

∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋

≥＋2＝，

当且仅当＝，即a＝b＝时取等号.

所以a＋b的取值范围是a＋b≥.

思维升华　“1”的整体代换关键是构造出“1”，把 ＋作为一个整体乘入到a＋b中.一般情况下，(ax＋by)·＝ac＋bd＋＋≥(＋)2(a，b，c，d>0)，因此ax＋by与＋中知一可求另外一个的最小值.

法二　借助基本不等式构造不等关系

解　由＋＝3得a＋b＝3ab.

由≤，

得ab≤，

所以a＋b＝3ab≤(a＋b)2，

则4(a＋b)≤3(a＋b)2，

所以a＋b≥，

当且仅当即a＝b＝时取等号，

故a＋b的取值范围是a＋b≥.

思维升华　(1)由＋＝3可得a＋b＝3ab，要求a＋b的范围，则需消去ab，即利用a＋b与ab的不等关系进行转化.

(2)基本不等式组≤≤≤，同学们可利用≤自行证明.

法三　化归消元：二元转化为一元

解　由＋＝3得a＋b＝3ab，

∴b＝，

由于a>0，b>0，可得a>，则3a－1>0.

所以a＋b＝a＋＝a＋×

＝

＝

≥＝，

当且仅当3a－1＝，即a＝时取等号.

∴a＋b的取值范围是a＋b≥.

思维升华　本例利用条件＋＝3，消去b，转化为关于a的代数式 ，借助基本不等式求解，如果等号不成立，可运用函数的单调性解题.

法四　构造定值

解　∵a>0，b>0，且＋＝3.

∴3a>1，且3b>1.

由＋＝3，得a＋b＝3ab，

∴(3a－1)(3b－1)＝1(定值)，

∴(3a－1)＋(3b－1)≥2＝2.

∴3a＋3b≥4，则a＋b≥，

当且仅当3a－1＝3b－1＝1，即a＝b＝时取等号，

 所以a＋b的取值范围为a＋b≥.

法五　判别式法

解　由＋＝3得a＋b＝3ab，(1)

设a＋b＝t，则b＝t－a，

代入(1)式得t＝3a(t－a)，

整理得3a2－3at＋t＝0，

又由＋＝3得a>，

即方程3a2－3ta＋t＝0存在大于的实数根，令y＝3a2－3ta＋t，由其函数图象可知

解得t≥.

所以a＋b的取值范围是a＋b≥.

思维升华　方法五通过换元法把不等式问题转化为一元二次函数问题，借助于二次函数的图象构造不等式组求解.

以上可见，五种方法各有特点、繁简不一，但都是不等式中的常见方法，尤其是前四种方法，灵活多变，涵盖了基本不等式应用基本思路，同学们要切实掌握.

训练 (1)已知m>0，n>0，且m＋2n＝3mn，则2m＋n的最小值是(　　)

A.   B.3 

C.7   D.9

答案　B

解析　由题意可得＋＝3，

则2m＋n＝(2m＋n)

＝≥×(2＋5)＝3，

当且仅当m＝n＝1时，等号成立.

(2)已知x>0，y>0，2x＋y＝3，则＋的最小值是(　　)

A.3   B. 

C.   D.9

答案　B

解析　∵x>0，y>0，2x＋y＝3，所以(2x＋1)＋y＝4，

则＋＝(2x＋1＋y)

＝

≥＝＝，

当且仅当＝且2x＋1＋y＝4，即x＝，y＝时取等号，则＋的最小值是.

(3)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________.

答案　5＋2

解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝，

因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2，

所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5

≥2＋5＝5＋2，

当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立.

所以a＋2b的最小值为5＋2.