高中人教A版 (2019)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课文配套课件ppt

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1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、一元二次不等式1.问题　给出下面四个不等式：(1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0；(3)－x2＋2x≥0；(4)2x2＋x＋5<0.以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？提示　含有一个未知数，未知数的最高次数是2.
2.思考　(1)上述问题中，四个不等式表达形式上有什么共同特点？提示　形如ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.(2)问题中不等式x2－x－6>0与x2－x－6≤0对应的方程x2－x－6＝0的实根是多少？提示　x1＝－2，x2＝3.
3.填空　(1)一般地，我们把只含有______未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般形式是_______________或__________________，其中a，b，c均为常数，a≠0.(3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的_______叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点.
4.做一做　二次函数y＝x2－4x＋4的零点是________.
二、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系1.问题　下图是函数y＝x2－x－6的图象及部分对应值表：
根据图表，你能说出方程x2－x－6＝0的解吗？不等式x2－x－6>0的解集呢？x2－x－6<0的解集呢？提示　(1)方程x2－x－6＝0的解为x＝－2或x＝3；(2)x2－x－6>0的解集为{x|x<－2或x>3}；(3)x2－x－6<0的解集为{x|－22.问题　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？提示　①当Δ>0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实根，图象与x轴有两个交点.②当Δ＝0时，方程有两个相等实根，二次函数图象与x轴相切.③当Δ<0时，方程无实根，二次函数图象与x轴无交点.
{x|xx2}
{x|x14.做一做　(1)不等式x2≤1的解集是______________________.(2)不等式3＋5x－2x2≤0的解集为_____________________.
解析　(1)由x2≤1，得－1≤x≤1.
5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.( )提示　当a≠0时，ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(2)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )提示　当a>0时，解集为R；当a<0时，解集为.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，
题型一　一元二次不等式的解法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
训练1 解下列不等式：(1)4x2－4x＋1>0；(2)－x2＋6x－10>0.
作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为.
例2 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0.解　原不等式可化为(x＋1)(x－a)<0，∴方程x2＋(1－a)x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a.又函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a<－1时，原不等式的解集为{x|a－1时，原不等式的解集为{x|－1题型二　解含参数的一元二次不等式
角度1　二次项系数不含参数
例3 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.解　(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，∴原不等式的解集为{x|x>2}.
角度2　二次项系数含有参数
1.对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.2.若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论.
训练2 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
题型三　三个“二次”之间的关系
例4　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集为{x|2又由a<0知c<0，不等式cx2＋bx＋a<0，
迁移 若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集.
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标.2.给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
(1)求a，c的值；(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解得a＝－6，c＝－1.(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，则3x2－4x＋1≤0，
1.一元二次不等式的解法：化标准形式，求方程的根，画函数图象，得不等式解集.2.对于含字母参数的不等式，要分类讨论.(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.(2)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.(3)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.3.三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
解析　原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
2.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　)A.{1，2，3} B.{1，2}C.{4，5} D.{1，2，3，4，5}
又x∈N*且x≤5，则x＝1，2.
3.若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根， 则k的取值范围是(　　)
解析　∵关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，∴k≠0且Δ＝(－1)2－4k≥0，
4.(多选)若函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点是A(－2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是(　　 )A.b＋c＝－1B.方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1C.不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2＜x＜1}D.不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}解析　方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1，所以－b＝－2＋1＝－1，即b＝1，c＝(－2)×1＝－2，所以b＋c＝－1.不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>1}，不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}，所以选项A，B，D正确.
5.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)A.{x|x<－n或x>m}B.{x|－nn}D.{x|－m0，所以m>－n.结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n解析　由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
8.不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，其中a≠－1，则a的取值范围为___________.解析　x(x－a＋1)>a⇔(x＋1)(x－a)>0.∵解集是{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.
9.已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B.(1)求A∩B；(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集.解　(1)由x2＋x－6<0得－3∴－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1.∴原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}.
10.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).解　原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.当－1－a<－1＋a，即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.
11.(多选)下列不等式的解集为R的有(　　)
解析　A中，Δ＝12－4×1<0，解集为R.
C中，Δ＝62－4×10<0，解集为R.D中，不等式可化为2x2－3x＋3<0，Δ＝(－3)2－4×2×3<0，解集为.
12.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)A.{x|01}D.{x|－1解析　由题意知m<0，
∴m的取值范围是{m|m<0}.
14.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(1，0)与(3，0)两点，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是否确定？若确定，求出其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集确定.解　不确定.由二次函数的图象及一元二次不等式的关系可知：当a>0时，ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1或x>3}；当a<0时，ax2＋bx＋c>0的解集为{x|10的解集就是确定的.如给定a>0，则其解集为{x|x<1或x>3}.