人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课前预习课件ppt

5.1.2　弧度制

课标要求　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.

素养要求　1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算、逻辑推理素养.

一、角度制与弧度制

1.问题　在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？

提示　1度角等于周角的.圆心角是确定的.

2.问题　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？

提示　与圆的半径大小无关，是一个定值.

3.填空　(1)度量角的两种单位制

(2)角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝值是|α|＝.

(3)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

温馨提醒　角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的.

4.做一做　(多选)下列命题中，正确的是(　　)

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的

C.1 rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

答案　ABC

二、角度制与弧度制的换算

1.思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？

提示　根据π rad＝180°进行换算.

2.填空　角度制与弧度制的换算

3.填空　一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

三、扇形的弧长及面积公式

1.问题　初中所学的扇形的弧长、面积分别是什么？

提示　弧长l＝，面积S＝.

2.填空　设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

温馨提醒　在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”.

3.做一做　已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为________.

答案　

解析　由S＝αr2得＝×α×12，

所以α＝.

4.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(×)

(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)

(3)160°化为弧度制是π rad.(√)

(4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm).(×)

题型一　角度与弧度的互化

例1 将下列角度与弧度进行互化：

(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π.

解　(1)20°＝20×＝；

(2)－800°＝－800×＝－π；

(3)＝×°＝105°；

(4)－π＝－π×°＝－144°.

思维升华　1.在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数.

2.互化时注意两点：(1)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.

(2)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数.

训练1 已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小.

解　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝，

∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ.

题型二　用弧度制表示角的集合

例2 已知角α＝2 010°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；

(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.

解　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，

又π<<，

∴α与终边相同，是第三象限角.

(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，

又－5π≤γ<0，

∴当k＝－3时，γ＝－π；

当k＝－2时，γ＝－π；

当k＝－1时，γ＝－π.

思维升华　1.在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.

2.注意两点：(1)角度制与弧度制不能混用；(2)k∈Z切莫遗漏.

训练2 (1)用弧度制表示与120°角终边相同的角α的集合为(　　)

A.

B.

C.

D.

(2)用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为________.

答案　(1)D

(2)

解析　(1)120°＝120×＝，

故与120°角终边相同的角的集合为.

(2)终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.

终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，

故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为.

题型三　弧长公式与面积公式的应用

例3 已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.

解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，

依题意有

整理得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.

当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去.

当R＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad).

综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.

迁移 已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？

解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，

则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，

所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，

所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，

因此，θ＝＝＝2(rad).

思维升华　扇形的弧长和面积的求解策略

(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2.

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.

训练3 如图所示，十字形公路的交叉处围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，的长度为100π m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？

解　如图所示，

∵∠AOB＝60°＝，的长度为100π m，∴OA＝＝300(m).

根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，

设⊙O1与OA切于C点，连接O1O，O1C.

则∠O1OC＝30°＝，

OO1＝OA－O1C＝300－O1C.

又O1C＝O1O·sin ，

故O1C＝(300－O1C)×，

解得O1C＝100 m.

这时⊙O1的面积为π×1002＝10 000 π(m2).

[课堂小结]

1.角度制与弧度制互化的原则是应用180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算.

2.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度，根据具体的条件选用公式，涉及最值问题往往转化为二次函数的最值问题.

一、基础达标

1.角终边所在的象限是(　　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

答案　A

解析　π＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角.

2.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　∵240°＝×240＝π，

∴240°的圆心角所对弧长为l＝π×10＝π.

3.(多选)下列转化结果正确的是(　　)

A.67°30′化成弧度是

B.－化成角度是－600°

C.－150°化成弧度是－

D.化成角度是15°

答案　ABD

解析　－150°＝－150×＝－，只有选项C错误，其余选项全部正确.

4.(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列对该扇形性质的描述可能正确的是(　　)

A.扇形所在圆的半径为2 cm

B.扇形所在圆的半径为1 cm

C.扇形所在圆的圆心角的弧度数是1

D.扇形所在圆的圆心角的弧度数是2

答案　ABC

解析　设扇形所在圆的半径为r，圆心角的弧度数为α，

则由题意得

解得或

则圆心角的弧度是4或1.故选ABC.

5.集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

答案　C

解析　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).

6.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.

答案　一

解析　2π－5与－5的终边相同，

∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.

7.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为________.

答案　

解析　设扇形的半径为r，弧长为l，

由题意可知

所以

所以S＝lr＝.

8.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________.

答案　2

解析　由扇形面积公式S＝lr＝l·＝，知1＝，所以α＝2.

9.已知α＝1 690°.

(1)把角α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；

(2)求角θ，使角θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).

解　(1)1 690°＝1 440°＋250°

＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.

(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z).

又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π，

∴－<k<(k∈Z)，∴k＝－2，－1，0，1.

∴θ的值是－π，－π，π，π.

10.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；

(1)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

解　(1)⊙O的半径r＝10＝AB，

知△AOB是等边三角形，

∴α＝∠AOB＝60°＝.

(2)由(1)可知α＝，r＝10，

∴弧长l＝α·r＝×10＝，

∴S扇形＝lr＝××10＝，

又S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，

∴S＝S扇形－S△AOB＝－25.

二、能力提升

11.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)

A.α＋β＝0

B.α－β＝0

C.α＋β＝2kπ(k∈Z)

D.α－β＝2kπ＋(k∈Z)

答案　D

解析　因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，

β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，

所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z).

因为k1∈Z，k2∈Z，

所以k1－k2∈Z.

所以α－β＝＋2kπ(k∈Z).

12.扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________.

答案　2∶3

解析　如图，设内切圆半径为r，则r＝，

所以S圆＝π·＝，

S扇＝a2·＝，所以＝.

13.已知扇形的圆心角为α，半径为r.

(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；

(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值.

解　(1)由题意，可得2r＋αr＝C，则αr＝C－2r，

得扇形面积S＝αr2＝(C－2r)r＝－r2＋Cr，

故当r＝C时，S取得最大值C2，此时α＝－2＝2.

(2)由题意，可得S＝αr2，则αr＝，

得扇形周长C＝2r＋αr＝2r＋≥4，

当且仅当2r＝，即r＝时取等号，

即r＝时，C取得最小值4，此时α＝＝2.

三、创新拓展

14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2(精确到1 m2).

答案　9

解析　＝120°，根据题意得，

弦＝2×4sin ＝4(m)，

矢＝4－2＝2(m)，

因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2).