高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式习题ppt课件

培优课　同角关系式与诱导公式的应用

类型一　三角函数式的化简与求值

解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角问题转化为同角问题来处理，再利用同角三角函数基本关系进行化简或求值.

例1 已知＝3＋2，求

的值.

解　由＝3＋2，

得＝3＋2，∴tan θ＝.

原式＝

＝1＋tan θ＋2tan2θ

＝1＋＋2×＝2＋.

例2 已知cos α＝－，且α为第三象限角.

(1)求sin α的值；

(2)求f(α)＝的值.

解　(1)因为α为第三象限角，

所以sin α＝－＝－.

(2)f(α)＝

＝tan α·sin α＝·sin α＝

＝×＝－.

例3 已知＝.

(1)求tan α的值；

(2)求sin(π－α)sin的值.

解　(1)由＝得，

＝，解得tan α＝2.

(2)sin(π－α)sin＝－sin αcos α

＝－＝.

由(1)可知，tan α＝2，

所以－＝－＝－，

即sin(π－α)sin＝－.

类型二　在三角形中的应用

三角形中的化简求值问题，要结合A＋B＋C＝π这一隐含条件，并应用诱导公式进行转化，进而达到化简与求值的目的.在△ABC中，常用的结论有sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin ＝cos ，cos ＝sin .

例4 在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状.

解　在△ABC中，A＋B＋C＝π，

∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.

又sin ＝sin ，

所以sin ＝sin，

则cos C＝cos B.

又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，

所以△ABC为等腰三角形.

例5 在锐角三角形ABC中，已知tan A＝2，求sin2(B＋C)＋cos(3π－A)的值.

解　sin2(B＋C)＋cos(3π－A)

＝sin2(π－A)＋cos(π－A)

＝sin2A－cos A＝1－cos2A－cos A.

在锐角三角形ABC中，已知tan A＝2，

 ∴sin A＝2cos A，

又sin2A＋cos2A＝1，

得cos2A＝，cos A＝.

∴原式＝1－cos2A－cos A＝1－－＝.

例6 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角.

解　由题意得sin A＝sin B，cos A＝cos B，

平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，

又因为A∈(0，π)，所以A＝或.

当A＝时，cos B＝－<0，

则B∈，

此时A，B均为钝角，不合题意，舍去.

所以A＝，cos B＝，

所以B＝，所以C＝.

综上所述，A＝，B＝，C＝.

类型三　三角函数的综合应用

例7 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到，求5sin β－5cos β＋3tan β的值.

解　(1)根据题意，得sin α＝＝，

cos α＝＝，tan α＝＝，

∴sin(α＋π)＝－sin α＝－.

(2)根据题意，得β＝α－，

∴5sin β－5cos β＋3tan β

＝5sin－5cos＋3tan

＝5cos α＋5sin α－

＝5×＋5×－3×＝－.

例8 已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根.

(1)求cos＋sin的值；

(2)求tan(π－θ)－的值.

解　关于x的方程x2－ax＋a＝0有两个实根，

∴Δ＝a2－4a≥0，则a≥4或a≤0.

又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，

所以a2－2a－1＝0，

解得a＝1－或a＝1＋(舍去).

所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.

(1)cos＋sin＝sin θ＋cos θ＝1－.

(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－

＝－＝－

＝－＝－＝＋1.